Uma bandeira é formada de 7 listras, eu devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-las de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas de mesma cor?

Passo 1

O enunciado diz: uma bandeira tem 7 listras e devem ser pintadas com 3 cores diferentes; a condição é que duas listras adjacentes nunca tenham a mesma cor. A pergunta é: de quantas maneiras distintas isso pode ser feito?\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • número de listras: 7;
  • número de cores disponíveis: 3;
  • restrição: listras vizinhas não podem ter a mesma cor.\n
    O que se pede: contar todas as pinturas possíveis que respeitem a restrição acima.

Passo 2

Conceito importante (regra do produto): se um processo consiste de etapas sequenciais e a etapa 1 pode ser feita de a maneiras, e para cada escolha da etapa 1 a etapa 2 pode ser feita de b maneiras, então o processo todo tem a\cdot b maneiras. Essa ideia se estende a várias etapas: se há k etapas com n_1,n_2,\dots,n_k opções respectivamente (onde cada etapa depende apenas das escolhas anteriores de forma conhecida), o total é
n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k.
Vou aplicar isso às listras, pensando em pintar uma listra por vez, da esquerda para a direita (ou de cima para baixo): cada listra é uma “etapa”.

Passo 3

Escolhas para a primeira listra: não há restrição anterior, então qualquer uma das 3 cores pode ser usada. Logo, para a primeira listra há
3
opções.

Passo 4

Escolhas para a segunda listra: ela não pode ter a mesma cor da primeira. Como a primeira já usou uma cor, restam 3-1=2 cores possíveis para a segunda listra. Portanto, para a segunda listra há
2
opções, independentemente de qual cor foi escolhida na primeira (sempre são duas opções diferentes da cor anterior).

Passo 5

Agora raciocinamos para as listras 3 a 7: cada listra apenas não pode repetir a cor imediatamente anterior. Isso significa que, ao pintar a listra k (com k\ge 2), dados os conhecimentos só da listra k-1, sempre teremos exatamente 2 opções de cor para a listra k. Assim, as listras 2,3,4,5,6,7 são 6 etapas, cada uma com 2 escolhas. Aplicando a regra do produto, o número total de pinturas possíveis é
3\cdot 2^{6},
onde o fator 3 vem da primeira listra e 2^{6} representa as 6 listras restantes com 2 opções cada.

Passo 6

Teste rápido para ganhar confiança: se houvesse apenas 1 listra, o total seria 3. Para 2 listras seria 3\cdot 2. Para 3 listras seria 3\cdot 2^{2}. Isso segue a mesma lógica e confirma o padrão. Além disso, calculemos a potência necessária:
2^{6}=64.

Resposta

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