Uma bandeira é formada de 7 listras, eu devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-las de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas de mesma cor?
Passo 1
O enunciado diz: uma bandeira tem 7 listras e devem ser pintadas com 3 cores diferentes; a condição é que duas listras adjacentes nunca tenham a mesma cor. A pergunta é: de quantas maneiras distintas isso pode ser feito?\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- número de listras:
; - número de cores disponíveis:
; - restrição: listras vizinhas não podem ter a mesma cor.\n
O que se pede: contar todas as pinturas possíveis que respeitem a restrição acima.
Passo 2
Conceito importante (regra do produto): se um processo consiste de etapas sequenciais e a etapa 1 pode ser feita de
maneiras, e para cada escolha da etapa 1 a etapa 2 pode ser feita de
maneiras, então o processo todo tem
maneiras. Essa ideia se estende a várias etapas: se há
etapas com
opções respectivamente (onde cada etapa depende apenas das escolhas anteriores de forma conhecida), o total é
Vou aplicar isso às listras, pensando em pintar uma listra por vez, da esquerda para a direita (ou de cima para baixo): cada listra é uma “etapa”.
Passo 3
Escolhas para a primeira listra: não há restrição anterior, então qualquer uma das
cores pode ser usada. Logo, para a primeira listra há
opções.
Passo 4
Escolhas para a segunda listra: ela não pode ter a mesma cor da primeira. Como a primeira já usou uma cor, restam
cores possíveis para a segunda listra. Portanto, para a segunda listra há
opções, independentemente de qual cor foi escolhida na primeira (sempre são duas opções diferentes da cor anterior).
Passo 5
Agora raciocinamos para as listras
a
: cada listra apenas não pode repetir a cor imediatamente anterior. Isso significa que, ao pintar a listra
(com
), dados os conhecimentos só da listra
, sempre teremos exatamente
opções de cor para a listra
. Assim, as listras
são 6 etapas, cada uma com
escolhas. Aplicando a regra do produto, o número total de pinturas possíveis é
onde o fator
vem da primeira listra e
representa as
listras restantes com
opções cada.
Passo 6
Teste rápido para ganhar confiança: se houvesse apenas
listra, o total seria
. Para
listras seria
. Para
listras seria
. Isso segue a mesma lógica e confirma o padrão. Além disso, calculemos a potência necessária: