Quantos anagramas podemos formar com a palavra PERNANBUCO? Quantas começam com a silaba PER?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a palavra
:
- Quantos anagramas (todas as permutações das letras) podemos formar com todas as letras?
- Quantos desses anagramas começam com a sílaba
?
Informações dadas e observações imediatas:
- A palavra é
. - Número total de letras:
. - Contagem de letras repetidas: a letra
aparece vezes; todas as outras letras ( ) aparecem vez cada.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): quando temos
objetos distintos, o número de maneiras de ordená-los (permutações) é
. Aqui a notação factorial significa:
Ex.:
.
Se alguns objetos são idênticos (repetidos), permutações que só trocam esses idênticos não produzem um anagrama novo. Para ajustar isso usamos a fórmula geral:
onde
é o total de objetos e
são as multiplicidades de cada tipo de objeto repetido.
Pequeno exemplo concreto: com as letras de temos
e a letra
repete
vezes, então o número de anagramas é
Pequeno exemplo concreto: com as letras de
que podemos listar para ver que bate com a fórmula.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao total de anagramas de
.
Aqui e só há uma letra repetida,
, com multiplicidade
. Portanto o número total de anagramas é
Aqui
Explico por que: contamos todas as ordenações de
letras (
) e dividimos por
porque as duas letras
são indistinguíveis entre si.
Passo 4
Cálculo detalhado de
e divisão por
.
Primeiro calculamos :
Primeiro calculamos
Podemos multiplicar em etapas:
Logo
. Agora dividimos por
:
Portanto o número total de anagramas é
.
Passo 5
Agora a segunda pergunta: quantos anagramas começam com a sílaba
?
Pensamento passo a passo: se a palavra começa com , essas três posições iniciais ficam fixas e não se permutam. Então devemos permutar as letras restantes. Depois de colocar
nas três primeiras posições, restam
letras para organizar. Essas letras restantes são
. Nelas a letra
aparece
vezes; as demais são todas distintas.
Pensamento passo a passo: se a palavra começa com
Passo 6
Aplicando a fórmula às
letras restantes com repetição de
. O número de permutações das letras restantes é
Calculamos
:
Dividindo por
:
Portanto há
anagramas que começam com
.