Quantos anagramas podemos formar com a palavra PERNANBUCO? Quantas começam com a silaba PER?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a palavra PERNANBUCO:
  1. Quantos anagramas (todas as permutações das letras) podemos formar com todas as letras?
  2. Quantos desses anagramas começam com a sílaba PER?
Informações dadas e observações imediatas:
  • A palavra é PERNANBUCO.
  • Número total de letras: n=10.
  • Contagem de letras repetidas: a letra N aparece 2 vezes; todas as outras letras ( P,E,R,A,B,U,C,O) aparecem 1 vez cada.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando temos n objetos distintos, o número de maneiras de ordená-los (permutações) é n!. Aqui a notação factorial significa:
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1.
Ex.: 4! = 4\times3\times2\times1 = 24.
Se alguns objetos são idênticos (repetidos), permutações que só trocam esses idênticos não produzem um anagrama novo. Para ajustar isso usamos a fórmula geral:
\text{permutations} = \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},
onde n é o total de objetos e n_1,n_2,\dots,n_k são as multiplicidades de cada tipo de objeto repetido.
Pequeno exemplo concreto: com as letras de AAB temos n=3 e a letra A repete 2 vezes, então o número de anagramas é
\frac{3!}{2!}=\frac{6}{2}=3,
que podemos listar para ver que bate com a fórmula.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao total de anagramas de PERNANBUCO.
Aqui n=10 e só há uma letra repetida, N, com multiplicidade 2. Portanto o número total de anagramas é
\frac{10!}{2!}.
Explico por que: contamos todas as ordenações de 10 letras ( 10!) e dividimos por 2! porque as duas letras N são indistinguíveis entre si.

Passo 4

Cálculo detalhado de 10! e divisão por 2!.
Primeiro calculamos 10!:
10! = 10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1.
Podemos multiplicar em etapas:
10\times9=90,
90\times8=720,
720\times7=5040,
5040\times6=30240,
30240\times5=151200,
151200\times4=604800,
604800\times3=1814400,
1814400\times2=3628800,
3628800\times1=3628800.
Logo 10! = 3628800. Agora dividimos por 2! = 2:
\frac{10!}{2!}=\frac{3628800}{2}=1814400.
Portanto o número total de anagramas é 1814400.

Passo 5

Agora a segunda pergunta: quantos anagramas começam com a sílaba PER?
Pensamento passo a passo: se a palavra começa com PER, essas três posições iniciais ficam fixas e não se permutam. Então devemos permutar as letras restantes. Depois de colocar P,E,R nas três primeiras posições, restam 10-3=7 letras para organizar. Essas letras restantes são N,A,N,B,U,C,O. Nelas a letra N aparece 2 vezes; as demais são todas distintas.

Passo 6

Aplicando a fórmula às 7 letras restantes com repetição de N. O número de permutações das letras restantes é
\frac{7!}{2!}.
Calculamos 7!:
7! = 7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 5040.
Dividindo por 2! = 2:
\frac{7!}{2!}=\frac{5040}{2}=2520.
Portanto há 2520 anagramas que começam com PER.

Resposta

1814400
2520

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