De um baralho comum (com 52 cartas) são selecionadas cartas ao acaso, sem reposição, sucessivamente. Qual é a probabilidade de que a terceira carta de espadas seja selecionada na 6^a extração?

Passo 1

Imagina que a gente tem um baralho de 52 cartas, com 13 espadas. A gente vai tirar cartas uma a uma, sem repor, e quer saber qual a probabilidade de a terceira espada aparecer exatamente na 6ª retirada.
Conteúdo: probabilidade, distribuição hipergeométrica e probabilidade condicional.
O que vamos usar:
  • Combinações binomnk
  • Fórmula da distribuição hipergeométrica
  • Fórmula de probabilidade condicional

Passo 2

Primeiro, define o evento A = “exatamente 2 espadas nas primeiras 5 cartas”.
A distribuição hipergeométrica diz que, ao tirar n cartas de um total de N com K sucessos, a chance de ter exatamente k sucessos é
P(X=k) ;=;binomKk,binomN-K,n-k,binomNn,
Aqui N=52, K=13, n=5, k=2. Então
P(A);=;binom132,binom393binom525 ;=;78;times;91392,598,960 ;approx;0,2744

Passo 3

Agora define B = “6ª carta é espadas, dado que A ocorreu”.
Depois de tirar 5 cartas com 2 espadas, sobraram 47 cartas e 11 espadas. Logo
P(Bmid A);=;1147;approx;0,2340
Pela regra da probabilidade condicional, a chance dos dois eventos ocorrerem (ter 2 espadas nas 5 primeiras e a 3ª na 6ª) é
P(Acap B);=;P(A),times,P(Bmid A) ;approx;0,2744times0,2340 ;approx;0,0642

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,0642 (ou 6,42%).

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