Um baralho contém 52 cartas, que consistem de 4 naipes diferentes chamados paus, ouros, copas e espadas. As cartas de naipes de paus e espadas são pretas e as cartas de naipes de ouros e copas são vermelhas. Cada naipe tem 13 cartas com símbolos 2,3, ldots, 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho sem reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem sequências as mãos dos sequintes tipos: A, 2,3,4,5 ; 2,3,4,5 ; ldots; 10, J, Q, K, A. Determine a probabilidade de ocorrência de cada uma das seguintes mãos de pôquer:
Um par (valores da forma w, w, x, y, z, onde w, x, y e z são distintos).

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem um baralho de 52 cartas e vai tirar 5 cartas (sem reposição e sem ordem). A pergunta é “qual a probabilidade de sair exatamente um par?”, ou seja, uma mão com valores do tipo {w,w,x,y,z}, onde w é o valor repetido e x,y,z são valores diferentes entre si e de w.
Conteúdo: probabilidade combinatória (combinações). Vamos precisar saber contar quantas mãos possíveis existem no total e quantas delas correspondem a “um par”.

Passo 2

Primeiro, quantos jeitos de escolher 5 cartas quaisquer dentre 52?
Estamos falando de combinação simples, porque a ordem não importa.
Total de mãos = binom525 ã
Aqui é “n escolhe k”, ou seja o número de subconjuntos de tamanho k em um conjunto de tamanho n.

Passo 3

Agora vamos contar quantas mãos têm um par exatamente. Para isso:
  1. Escolher o valor que vai formar o par. Há 13 valores (2,3,…,A): Npar = 13 times binom42 times binom123 times 4^3 .
  2. Para esse valor, escolher 2 dos 4 naipes: .
  3. Os outros 3 valores têm que ser todos diferentes entre si e diferentes de w, então escolhemos 3 valores dentre os 12 restantes: .
  4. Para cada um desses 3 valores “solteiros”, escolhemos 1 naipe dentre 4: .
Logo o total de mãos “um par” é

Passo 4

Vamos colocar os números:
Npar = 13 times 6 times 220 times 64 = 1,098,240 , P(um par) = Nparbinom525 = 1,098,2402,598,960 approx 0,422569 , , .
Então
A probabilidade é

Resposta

A probabilidade de ocorrer exatamente um par em 5 cartas é
boxed1,098,2402,598,960approx 0,4226 (42,26%)

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