Suponha que se extrai, sem reposição, uma amostra de tamanho n de uma população de r elementos. Obtenha a probabilidade de que k objetos dados estejam incluídos na amostra.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma população de objetos e vai extrair, sem reposição, uma amostra de tamanho . A pergunta é: qual é a probabilidade de que um certo conjunto de objetos (já escolhidos de antemão) esteja todo junto nessa amostra?
Conteúdo: Distribuição hipergeométrica / Contagem com combinações. Para resolver, a gente vai precisar entender como contar quantas amostras possíveis existem no total e quantas delas contêm esses objetos – e isso envolve usar combinações .

Passo 2

Primeiro, calcula o total de amostras possíveis (sem reposição) de tamanho binomrn ;=; r!n!,(r-n)! a partir de objetos.
Teoria: o número de jeitos de escolher objetos entre é dado por
Esse é o nosso espaço amostral.

Passo 3

Agora, quantas dessas amostras incluem justamente os binomr-k,n-k,;=;(r-k)!(n-k)!,l((r-k)-(n-k)r)!; objetos que a gente quer?
Bem, como eles já têm que estar na amostra, sobra escolher os outros objetos dentre os restantes.
Logo, o número de amostras favoráveis é

Passo 4

A probabilidade é (amostras favoráveis) dividido por (total de amostras):
P = binomr-k,n-k,binomrn

Resposta

boxedP = binomr-k,n-k,binomrn

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