Um baralho contém 52 cartas, que consistem de 4 naipes diferentes chamados paus, ouros, copas e espadas. As cartas de naipes de paus e espadas são pretas e as cartas de naipes de ouros e copas são vermelhas. Cada naipe tem 13 cartas com símbolos 2,3, ldots, 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho sem reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem sequências as mãos dos sequintes tipos: A, 2,3,4,5 ; 2,3,4,5 ; ldots; 10, J, Q, K, A. Determine a probabilidade de ocorrência de cada uma das seguintes mãos de pôquer:
Trinca (valores da forma x, x, x, y, z, onde x, y e z são distintos);

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um baralho de 52 cartas e tira 5 cartas sem repor e sem ordem. Queremos a probabilidade de “trinca”, ou seja, exatamente três cartas do mesmo valor (digamos ) e outras duas cartas de valores diferentes entre si e diferentes de (digamos e , com , , todos distintos).
Conteúdo: basicamente probabilidade clássica e combinatória (combinações ). Vamos precisar entender como contar quantas mãos de 5 cartas existem no total e quantas delas são trinca.

Passo 2

Primeiro, o total de mãos possíveis de 5 cartas em 52 é dado por
binom525
Esse símbolo binomnk = n!k!(n-k)! (lê-se “n escolhe k”) significa “combinar itens entre sem ordem”, e vale

Passo 3

Agora vamos contar quantas mãos são trinca. A ideia é multiplicar escolhas independentes:
  1. Escolher o valor que vai aparecer 3 vezes (o “x”): 13 times binom43 times binom122 times 4^2 maneiras.
  2. Dentre as 4 cartas desse valor, escolher 3 para formar a trinca: maneiras.
  3. Escolher os dois outros valores distintos de : maneiras (porque sobram 12 valores).
  4. Para cada um desses dois valores, escolher 1 das 4 cartas disponíveis: maneiras para cada, total .
Logo, o número de mãos que são trinca é

Passo 4

A probabilidade clássica é
P(trinca) = número de mãos de trincanúmero total de mãos = 13 ,binom43,binom122,4^2binom525 úãúã

Resposta

P(trinca) = 13 times binom43 times binom122 times 4^2binom525 approx 0,021128(approx 2,11%)

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