Considere a função:
Seja
uma variável aleatória com função de probabilidade
. Determine a função de distribuição acumulada de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui! A gente tem uma função de probabilidade $ h(x) $ que diz a probabilidade da variável aleatória $ X $ assumir certos valores. A função está definida assim:
O que a gente precisa fazer é encontrar a função de distribuição acumulada de $ X $, que é basicamente a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um determinado valor. Para isso, vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um valor específico $ x $. Matematicamente, é isso:
Como $ X $ só pode ser 1, 2 ou 3 com as probabilidades dadas por $ h(x) $, a gente vai somar essas probabilidades até o valor $ x $ que estamos considerando.
Passo 3
Vamos calcular $ F(x) $ para diferentes intervalos de $ x $:
-
Para $ x < 1 $:
- Nenhum valor de $ X $ é menor que 1, então a probabilidade é 0.
-
Para $ 1 \leq x < 2 $:
- O único valor que $ X $ pode assumir aqui é 1. Então, a probabilidade é $ h(1) $.
-
Para $ 2 \leq x < 3 $:
- Agora, $ X $ pode ser 1 ou 2. A probabilidade acumulada é a soma de $ h(1) $ e $ h(2) $.
-
Para $ x \geq 3 $:
- Aqui, $ X $ pode ser 1, 2 ou 3. A probabilidade acumulada é a soma de todas as probabilidades.
Resposta
Portanto, a função de distribuição acumulada de $ X $ é: