Quantos são os anagramas da palavra “PARAGUAIO” que não possuem consoantes adjacentes?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “PARAGUAIO” não têm consoantes adjacentes.
Informações dadas (tiradas da própria palavra “PARAGUAIO”):
  • Letras da palavra: P, A, R, A, G, U, A, I, O.
  • Total de letras: 9.
  • Vowels (vogais) e suas multiplicidades: A aparece 3 vezes, U aparece 1, I aparece 1, O aparece 1. Logo há 6 vogais no total.
  • Consonants (consoantes): P, R, G — cada uma aparece 1 vez; há 3 consoantes no total.
    Pergunta a responder: quantos anagramas (arranjos das 9 letras, respeitando repetições) em que nenhuma das 3 consoantes fica adjacente a outra consoante.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do método que vamos usar): primeiro colocamos as vogais em uma ordem válida (contando as repetidas), e depois inserimos as consoantes em “vagas” entre/antes/depois das vogais de forma que duas consoantes nunca fiquem juntas.
Por que isso funciona? Se você fixa uma sequência de vogais, os únicos lugares onde uma consoante pode ficar sem ficar ao lado de outra são as posições entre vogais ou nas extremidades. Assim garantimos a condição “sem consoantes adjacentes” escolhendo, para cada consoante, uma dessas vagas distintas (no máximo uma consoante por vaga).

Passo 3

Quantas vagas há para inserir consoantes se já tivermos colocadas as 6 vogais?
Quando temos n vogais em sequência, elas criam n+1 vagas (uma antes da primeira vogal, uma entre cada par de vogais, e uma após a última vogal).
Aqui n=6, logo o número de vagas é
6+1=7.
Para evitar consoantes adjacentes precisamos colocar cada uma das 3 consoantes em vagas distintas. Assim precisamos escolher 3 vagas entre as 7.

Passo 4

Contar as permutações das vogais (levando em conta repetições).
Temos 6 vogais no total, com a letra A repetida 3 vezes e as letras U,I,O simples. A fórmula para permutar um multiconjunto é
\frac{n!}{\prod m_i!},
onde n é o total de elementos e m_i são as multiplicidades. Aqui
\text{arranjos das vogais}=\frac{6!}{3!}.
Calculando:
6!=720,\qquad 3!=6,\qquad \frac{6!}{3!}=\frac{720}{6}=120.
Logo há 120 maneiras distintas de ordenar as 6 vogais respeitando as repetições.

Passo 5

Contar de quantas formas escolher as vagas para as consoantes.
Das 7 vagas, escolhemos 3 distintas para colocar as 3 consoantes. O número de escolhas é o binomial
\binom{7}{3}=35.
Isso garante que não colocamos duas consoantes na mesma vaga, logo nenhuma consoante ficará adjacente a outra.

Passo 6

Contar as permutações das consoantes entre as vagas escolhidas.
As consoantes são P,R,G e são todas distintas, então podem ser arranjadas entre si de
3!=6
maneiras (cada escolha de 3 vagas recebe as consoantes em qualquer uma das 3! ordens).

Passo 7

Combinar todas as contagens (princípio multiplicativo): escolha e ordenação das vogais, escolha das vagas, e ordenação das consoantes são decisões independentes, então multiplicamos as quantidades:
\text{total} = \left(\frac{6!}{3!}\right)\cdot \binom{7}{3}\cdot 3!.
Substituindo os valores calculados:
\text{total} = 120\cdot 35\cdot 6.
Calcule passo a passo:
35\cdot 6=210,
120\cdot 210=25200.

Resposta

25200

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