Quantos são os anagramas da palavra “PARAGUAIO” que não possuem consoantes adjacentes?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “PARAGUAIO” não têm consoantes adjacentes.
Informações dadas (tiradas da própria palavra “PARAGUAIO”):
Informações dadas (tiradas da própria palavra “PARAGUAIO”):
- Letras da palavra:
. - Total de letras:
. - Vowels (vogais) e suas multiplicidades:
aparece vezes, aparece , aparece , aparece . Logo há vogais no total. - Consonants (consoantes):
— cada uma aparece vez; há consoantes no total.
Pergunta a responder: quantos anagramas (arranjos dasletras, respeitando repetições) em que nenhuma das consoantes fica adjacente a outra consoante.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática do método que vamos usar): primeiro colocamos as vogais em uma ordem válida (contando as repetidas), e depois inserimos as consoantes em “vagas” entre/antes/depois das vogais de forma que duas consoantes nunca fiquem juntas.
Por que isso funciona? Se você fixa uma sequência de vogais, os únicos lugares onde uma consoante pode ficar sem ficar ao lado de outra são as posições entre vogais ou nas extremidades. Assim garantimos a condição “sem consoantes adjacentes” escolhendo, para cada consoante, uma dessas vagas distintas (no máximo uma consoante por vaga).
Por que isso funciona? Se você fixa uma sequência de vogais, os únicos lugares onde uma consoante pode ficar sem ficar ao lado de outra são as posições entre vogais ou nas extremidades. Assim garantimos a condição “sem consoantes adjacentes” escolhendo, para cada consoante, uma dessas vagas distintas (no máximo uma consoante por vaga).
Passo 3
Quantas vagas há para inserir consoantes se já tivermos colocadas as
vogais?
Quando temos vogais em sequência, elas criam
vagas (uma antes da primeira vogal, uma entre cada par de vogais, e uma após a última vogal).
Aqui , logo o número de vagas é
Quando temos
Aqui
Para evitar consoantes adjacentes precisamos colocar cada uma das
consoantes em vagas distintas. Assim precisamos escolher
vagas entre as
.
Passo 4
Contar as permutações das vogais (levando em conta repetições).
Temos vogais no total, com a letra
repetida
vezes e as letras
simples. A fórmula para permutar um multiconjunto é
Temos
onde
é o total de elementos e
são as multiplicidades. Aqui
Calculando:
Logo há
maneiras distintas de ordenar as
vogais respeitando as repetições.
Passo 5
Contar de quantas formas escolher as vagas para as consoantes.
Das vagas, escolhemos
distintas para colocar as
consoantes. O número de escolhas é o binomial
Das
Isso garante que não colocamos duas consoantes na mesma vaga, logo nenhuma consoante ficará adjacente a outra.
Passo 6
Contar as permutações das consoantes entre as vagas escolhidas.
As consoantes são e são todas distintas, então podem ser arranjadas entre si de
As consoantes são
maneiras (cada escolha de 3 vagas recebe as consoantes em qualquer uma das
ordens).
Passo 7
Combinar todas as contagens (princípio multiplicativo): escolha e ordenação das vogais, escolha das vagas, e ordenação das consoantes são decisões independentes, então multiplicamos as quantidades:
Substituindo os valores calculados:
Calcule passo a passo: