Quantos são os subconjuntos de \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}, com p elementos, nos quais:
e) exatamente um dos elementos a_{1} e a_{2} figura.

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos são os subconjuntos de \{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\} que têm exatamente p elementos e nos quais exatamente um dos elementos a_{1} e a_{2} aparece.
Informações dadas que vamos usar: o conjunto base tem n elementos distintos; queremos subconjuntos de tamanho p; a condição adicional é que desses dois elementos a_{1} e a_{2} apenas um esteja presente no subconjunto.

Passo 2

Vamos dividir o problema em dois casos mutuamente exclusivos e cobrir todos os possíveis subconjuntos pedidos:
  1. subconjuntos que contêm a_{1} e não contêm a_{2};
  2. subconjuntos que contêm a_{2} e não contêm a_{1}.
Esses dois casos não se sobrepõem (não há intersecção) e juntos formam exatamente os subconjuntos em que “exatamente um de a_{1},a_{2} figura”.

Passo 3

Considere o primeiro caso: o subconjunto deve conter a_{1} e não conter a_{2}.
Nesse caso já fixamos um dos p elementos (o a_{1}), então precisamos escolher os restantes p-1 elementos dentre os outros n-2 elementos (isto é, todos exceto a_{1} e a_{2}).
O número de maneiras de escolher p-1 elementos de um conjunto de n-2 elementos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n-2}{p-1}.
Breve explicação do coeficiente binomial: \binom{m}{k} é o número de formas de escolher k objetos distintos dentre m sem ordem; sua fórmula é \binom{m}{k}=\dfrac{m!}{k!(m-k)!}. Aqui m=n-2 e k=p-1.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio, no segundo caso (conter a_{2} e não conter a_{1}) também temos que escolher p-1 elementos entre os mesmos n-2 restantes, o que dá novamente
\binom{n-2}{p-1}
subconjuntos.

Passo 5

Como os dois casos são disjuntos, somamos as quantidades. O total de subconjuntos de tamanho p que contêm exatamente um dos dois elementos é
\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}{p-1}=2\binom{n-2}{p-1}.

Passo 6

Observações sobre validade: a expressão \binom{n-2}{p-1} é considerada 0 quando p-1<0 ou p-1>n-2, portanto a fórmula acima já lida corretamente com casos extremos (por exemplo, p=0 ou p=n dão resultado 0, como esperado). Em particular, para valores usuais temos sentido quando 1\le p\le n-1.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: se n=5 e p=3, então o total é
2\binom{3}{2}=2\cdot 3 = 6,
o que bate com a contagem explícita (escolher a_{1} mais duas das três demais, ou a_{2} mais duas das três demais).

Resposta

2\binom{n-2}{p-1}

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