Quantos são os subconjuntos de
, com
elementos, nos quais:
e) exatamente um dos elementos
e
figura.
e) exatamente um dos elementos
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos são os subconjuntos de
que têm exatamente
elementos e nos quais exatamente um dos elementos
e
aparece.
Informações dadas que vamos usar: o conjunto base tem elementos distintos; queremos subconjuntos de tamanho
; a condição adicional é que desses dois elementos
e
apenas um esteja presente no subconjunto.
Informações dadas que vamos usar: o conjunto base tem
Passo 2
Vamos dividir o problema em dois casos mutuamente exclusivos e cobrir todos os possíveis subconjuntos pedidos:
- subconjuntos que contêm
e não contêm ; - subconjuntos que contêm
e não contêm .
Esses dois casos não se sobrepõem (não há intersecção) e juntos formam exatamente os subconjuntos em que “exatamente um de
figura”.
Passo 3
Considere o primeiro caso: o subconjunto deve conter
e não conter
.
Nesse caso já fixamos um dos elementos (o
), então precisamos escolher os restantes
elementos dentre os outros
elementos (isto é, todos exceto
e
).
O número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de
elementos é dado pelo coeficiente binomial
Nesse caso já fixamos um dos
O número de maneiras de escolher
Breve explicação do coeficiente binomial:
é o número de formas de escolher
objetos distintos dentre
sem ordem; sua fórmula é
. Aqui
e
.
Passo 4
Pelo mesmo raciocínio, no segundo caso (conter
e não conter
) também temos que escolher
elementos entre os mesmos
restantes, o que dá novamente
subconjuntos.
Passo 5
Como os dois casos são disjuntos, somamos as quantidades. O total de subconjuntos de tamanho
que contêm exatamente um dos dois elementos é
Passo 6
Observações sobre validade: a expressão
é considerada
quando
ou
, portanto a fórmula acima já lida corretamente com casos extremos (por exemplo,
ou
dão resultado
, como esperado). Em particular, para valores usuais temos sentido quando
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então o total é
o que bate com a contagem explícita (escolher
mais duas das três demais, ou
mais duas das três demais).