Uma barata de massa m se desloca sobre a borda de um prato giratório (prato circular montado sobre um eixo vertical) de raio R e momento de inércia I , montado sobre mancais sem atrito. A velocidade da barata (em relação ao solo) é v, no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade angular
. Ela então encontra um pedaço de pão sobre o prato e para (em relação a ele).
Qual a nova velocidade angular do prato neste instante?
Qual a nova velocidade angular do prato neste instante?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo! Temos uma barata com massa $ m $ que anda na borda de um prato giratório de raio $ R $ e momento de inércia $ I $. O prato está girando no sentido horário com uma velocidade angular $ \omega_0 $, e a barata se move no sentido anti-horário com velocidade $ v $ em relação ao chão. Aí, a barata prende um pedaço de pão e para de se mover em relação ao prato. A pergunta é: qual é a nova velocidade angular do prato depois disso?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento angular e conservação do momento angular. Vamos precisar entender como o momento angular do sistema muda quando a barata para de se mover em relação ao prato.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o momento angular inicial do sistema. O sistema é composto pelo prato e pela barata. O prato tem um momento angular dado por:
onde $ I $ é o momento de inércia do prato e $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial.
Já a barata, que está se movendo no sentido anti-horário, tem um momento angular relativo ao chão. Esse momento angular é dado por:
Aqui, $ m $ é a massa da barata, $ R $ é o raio do prato, e $ v $ é a velocidade linear da barata.
Como a barata se move no sentido anti-horário e o prato no sentido horário, vamos considerar o movimento horário como positivo e o anti-horário como negativo. Assim, o momento angular total inicial do sistema é:
Passo 3
Agora, quando a barata para de se mover em relação ao prato ao pegar o pão, ela passa a girar junto com o prato. Isso significa que a barata agora está girando no mesmo sentido que o prato, ou seja, no sentido horário.
O momento angular final do sistema será a soma do momento angular do prato e o da barata que agora está girando junto. O novo momento angular do prato é $ I \omega’ $ e o da barata é $ m R^2 \omega’ $ (já que $ v’ = \omega’ R $, onde $ \omega’ $ é a nova velocidade angular).
Então, o momento angular final é:
Passo 4
Como não há torques externos atuando no sistema (os mancais são sem atrito), o momento angular total é conservado. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ \omega’ $:
Resposta
A nova velocidade angular do prato é: