Um capacitor de placas paralelas circulares concêntricas possui raio R=6 mm e a distância entre as placas d= 5 mu m.
O capacitor é alimentado por uma fonte de tensão senoidal
varepsilon(t)=(300 V) cdot sen(2 pi cdot(120 hz) cdot t)
Determine a corrente máxima induza no capacitor.
constantes:
l varepsilon0=8,85 times 10^-12 F / m mu0=4 pi 10^-7 cdot H / m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor de placas paralelas circulares concêntricas com raio $ R = 6 , mm $ e distância entre as placas $ d = 5 , \mum $. Esse capacitor está ligado a uma fonte de tensão que varia sinusoidalmente no tempo:
R = 6 , mm
Nosso objetivo é encontrar a corrente máxima que passa pelo capacitor. Para isso, vamos precisar entender como calcular a capacitância de um capacitor de placas circulares e como a corrente está relacionada à variação da tensão no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacitância $ C $ do capacitor. A fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas circulares é:
C
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo, que vale $ 8,85 \times 10^{-12} , F/m $.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
R = 6 , mm = 6 times 10^-3 , m
d = 5 , mum = 5 times 10^-6 , m
C = 8,85 times 10^-12 , F/m cdot pi (6 times 10^-3 , m)^25 times 10^-6 , m

Passo 4

Calculando o valor dentro da fração:
pi (6 times 10^-3)^2 = pi cdot 36 times 10^-6 , m^2 = 36pi times 10^-6 , m^2
Então:
C = 8,85 times 10^-12 cdot 36pi times 10^-65 times 10^-6 = 8,85 times 10^-12 cdot 36pi5

Passo 5

Simplificando os números:
36pi5 = 36 times 3,14165 approx 113,09765 approx 22,6195
Então:
C approx 8,85 times 10^-12 cdot 22,6195 approx 2,000 times 10^-10 , F = 200 , pF

Passo 6

Agora, vamos relacionar a corrente $ i(t) $ com a variação da tensão no tempo. A corrente num capacitor é dada por:
i(t)
Primeiro, vamos derivar a tensão em relação ao tempo.

Passo 7

Derivando $ \varepsilon(t) $:
varepsilon(t)
A corrente máxima ocorre quando o cosseno vale 1, então:
dvarepsilon(t)dt = 300 , V cdot 2pi cdot 120 , Hz cdot cos(2pi cdot 120 , t) á

Passo 8

Calculando a derivada máxima:
300 cdot 2pi cdot 120 = 300 cdot 240pi approx 300 cdot 754 approx 226200 , V/s

Passo 9

Agora, usando a fórmula da corrente máxima:
imáx = C cdot (dvarepsilon(t)dt)máx = 200 times 10^-12 , F cdot 226200 , V/s áá

Passo 10

Multiplicando os valores:
imáx = 200 times 10^-12 times 226200 = 200 times 226200 times 10^-12 = 45,24 times 10^-6 , A = 45,24 , muA á

Resposta

A corrente máxima induzida no capacitor é aproximadamente $ 45,24 , \muA $.

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