Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
(o autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Determine
por meio da normalização de
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão tá dentro de Óptica Quântica / Oscilador Harmônico e trata dos chamados estados coerentes, que são combinações lineares dos autoestados |ψₙ⟩ e que satisfazem
O que a gente precisa aqui é achar o coeficiente
Passo 2
Vamos escrever a expansão geral de
em função dos autovetores
:
Sabe-se que, pela ação do operador abaixamento, chega-se a
Então, a norma fica
$$\langle\alpha|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty |c_n|^2
= |c_0|^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{|\alpha|^{2n}}{n!},. $$
Passo 3
Reconhecemos a série de Taylor do exponencial:
Logo, a condição
Passo 4
Isolando
:
Como só nos importa a fase trivial, escolhemos