Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico |psinrang<=, somente |psi0rang<= atinge o limite da incerteza sigmax sigmap=hbar / 2; em geral, sigmax sigmap>hbar / 2. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
a-|alpharang<==alpha|alpharang<=
(o autovalor alpha pode ser qualquer número complexo.)
Determine c0 por meio da normalização de |alpharang<=.
1=lang<=alpha mid alpharang<==|c0|^2 sumn=0^infty |alpha|^2 nn!=|c0|^2 e^|alpha|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão tá dentro de Óptica Quântica / Oscilador Harmônico e trata dos chamados estados coerentes, que são combinações lineares dos autoestados |ψₙ⟩ e que satisfazem
a-|alpha⟩ = alpha|alpha⟩,, alphainC,
O que a gente precisa aqui é achar o coeficiente 1=lang<=alpha|alpharang<=, dessa expansão, usando a condição de normalização

Passo 2

Vamos escrever a expansão geral de |alpha⟩ = sumn=0^infty cn,|psin⟩, em função dos autovetores cn = alpha^nraizn!,c0, :
lang<=alpha|alpharang<= = sumn=0^infty |cn|^2 = |c0|^2 sumn=0^infty |alpha|^2nn!,
Sabe-se que, pela ação do operador abaixamento, chega-se a
Então, a norma fica
$$\langle\alpha|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty |c_n|^2
= |c_0|^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{|\alpha|^{2n}}{n!},. $$

Passo 3

Reconhecemos a série de Taylor do exponencial:
sumn=0^infty |alpha|^2nn! = e^|alpha|^2,
Logo, a condição 1 = |c0|^2,e^|alpha|^2, vira

Passo 4

Isolando |c0|^2 = e^-|alpha|^2, :
c0 = e^-|alpha|^2/2,
Como só nos importa a fase trivial, escolhemos real positivo:

Resposta

boxedc0 = e^-|alpha|^2/2

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