Uma barata de massa m se desloca sobre a borda de um prato giratório (prato circular montado sobre um eixo vertical) de raio R e momento de inércia I , montado sobre mancais sem atrito. A velocidade da barata (em relação ao solo) é v, no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade angular
. Ela então encontra um pedaço de pão sobre o prato e para (em relação a ele).
Mostre que neste processo a energia mecânica diminuiu. Explique a origem desta variação.
Mostre que neste processo a energia mecânica diminuiu. Explique a origem desta variação.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando. Temos um prato circular de raio
e momento de inércia
girando sem atrito (eixo vertical). A barata, de massa
, anda na borda com velocidade linear
no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade angular
. Ela para em relação ao prato (agora anda junto com ele).
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Conservação do momento angular (não há torque externo)
- Energia cinética rotacional e translacional
- Trabalho de forças de atrito (não-conservativas)
Passo 2
Calcular a energia mecânica inicial.
- Prato gira com
(escolhendo sentido anti-horário como positivo).
Energia rotacional do prato: - Barata se move com velocidade tangencial
, então só tem energia cinética de translação:
Logo
Passo 3
A gente aplica conservação do momento angular total (não há torque externo).
- Momento angular da barata em relação ao eixo:
(positiva) - Momento angular do prato:
Então
Depois que a barata “agarra” o prato e fica parada nele, ambos giram juntos com alguma
. O momento de inércia “total” é
, então
Conservando
, vem
Passo 4
Agora calculamos a energia mecânica final:
tanto prato quanto barata giram com , então
tanto prato quanto barata giram com
Passo 5
Vamos ver a diferença
.
É mais fácil calcular
É mais fácil calcular
Fazendo as contas (ou lembrando da expressão desenvolvida), chega-se a
que é claramente positivo. Logo
: a energia mecânica diminuiu.
Passo 6
Origem dessa perda? Quando a barata “engruda” no prato, rola atrito entre elas para igualar as velocidades. Esse atrito é uma força não-conservativa que converte parte da energia mecânica em calor (ou energia interna).
Resposta
A energia mecânica diminui de
ou seja, caiu em
Essa variação negativa vem do trabalho dissipativo da força de atrito entre a barata e o prato.