Uma barata de massa m se desloca sobre a borda de um prato giratório (prato circular montado sobre um eixo vertical) de raio R e momento de inércia I , montado sobre mancais sem atrito. A velocidade da barata (em relação ao solo) é v, no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade angular omega0. Ela então encontra um pedaço de pão sobre o prato e para (em relação a ele).
Mostre que neste processo a energia mecânica diminuiu. Explique a origem desta variação.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando. Temos um prato circular de raio e momento de inércia girando sem atrito (eixo vertical). A barata, de massa , anda na borda com velocidade linear no sentido anti-horário, enquanto o prato gira no sentido horário com velocidade angular . Ela para em relação ao prato (agora anda junto com ele).
Conteúdo envolvido:
  • Conservação do momento angular (não há torque externo)
  • Energia cinética rotacional e translacional
  • Trabalho de forças de atrito (não-conservativas)

Passo 2

Calcular a energia mecânica inicial.
  1. Prato gira com E!i,,prato ;=;tfrac12,I,omega0^2 (escolhendo sentido anti-horário como positivo).
    Energia rotacional do prato: E!i,,barata ;=;tfrac12,m,v^2
  2. Barata se move com velocidade tangencial Ei ;=; tfrac12,I,omega0^2 ;+;tfrac12,m,v^2 , então só tem energia cinética de translação:
Logo

Passo 3

A gente aplica conservação do momento angular total (não há torque externo).
  • Momento angular da barata em relação ao eixo: Li ;=; mRv ;-; I,omega0 (positiva)
  • Momento angular do prato: Lf ;=;(I + mR^2),omegaf
    Então
omegaf ;=;m,R,v ;-; I,omega0I + m,R^2
Depois que a barata “agarra” o prato e fica parada nele, ambos giram juntos com alguma . O momento de inércia “total” é , então
Conservando , vem

Passo 4

Agora calculamos a energia mecânica final:
tanto prato quanto barata giram com Ef ;=; tfrac12,(I + m,R^2),omegaf^2 ;=;12,l(mRv - Iomega0r)^2I + mR^2 , então

Passo 5

Vamos ver a diferença Ei - Ef = tfrac12,I,omega0^2 + tfrac12,m,v^2 ;-;12,(mRv - Iomega0)^2I + mR^2 .
É mais fácil calcular
Ei - Ef = I,m,(v + R,omega0)^22,l(I + m,R^2r),
Fazendo as contas (ou lembrando da expressão desenvolvida), chega-se a
que é claramente positivo. Logo : a energia mecânica diminuiu.

Passo 6

Origem dessa perda? Quando a barata “engruda” no prato, rola atrito entre elas para igualar as velocidades. Esse atrito é uma força não-conservativa que converte parte da energia mecânica em calor (ou energia interna).

Resposta

A energia mecânica diminui de
De
ou seja, caiu em
I,m,(v + R,omega0)^22,(I + mR^2) > 0
Essa variação negativa vem do trabalho dissipativo da força de atrito entre a barata e o prato.

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