Um barbante com 100 cm de comprimento pode ser cortado em duas partes de modo que uma dessas partes é dobrada no formato de um quadrado enquanto a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o barbante de forma que a área total englobada seja:
máxima?
máxima?
Passo 1
O problema é de otimização: temos um barbante de 100 cm que vamos cortar em duas partes, uma com comprimento
para formar um quadrado e o resto
para formar um triângulo equilátero. Para resolver, precisamos usar fórmulas de perímetro e área de quadrado e triângulo equilátero e depois otimizar a área total.
Passo 2
Para o quadrado, o perímetro é
e cada lado mede
, logo a área do quadrado é
. Para o triângulo equilátero, o perímetro é
e cada lado mede
, então a área do triângulo é dada por
.
A função que queremos maximizar é a área total em função de :
A função que queremos maximizar é a área total em função de
Passo 3
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
Resolvendo para
:
Passo 4
Verificando que a segunda derivada
é negativa no ponto crítico, confirmamos que se trata de máximo. A parte restante para o triângulo é
cm.
Resposta
Cortar o barbante em duas partes de modo que a parte de comprimento
cm seja usada para o quadrado e a outra de comprimento
cm seja usada para o triângulo equilátero.