Um barbante com 100 cm de comprimento pode ser cortado em duas partes de modo que uma dessas partes é dobrada no formato de um quadrado enquanto a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o barbante de forma que a área total englobada seja:
máxima?

Passo 1

O problema é de otimização: temos um barbante de 100 cm que vamos cortar em duas partes, uma com comprimento x para formar um quadrado e o resto 100-x para formar um triângulo equilátero. Para resolver, precisamos usar fórmulas de perímetro e área de quadrado e triângulo equilátero e depois otimizar a área total.

Passo 2

Para o quadrado, o perímetro é x e cada lado mede tfracx4, logo a área do quadrado é Aq = l(tfracx4r)^2 = tfracx^216. Para o triângulo equilátero, o perímetro é 100 - x e cada lado mede tfrac100-x3, então a área do triângulo é dada por At = tfracraiz34l(tfrac100-x3r)^2 = tfracraiz336(100-x)^2.
A função que queremos maximizar é a área total em função de x:
A(x) = x^216 + raiz336(100 - x)^2

Passo 3

Calculamos a derivada de A(x) e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
A'(x) = 2x16 - raiz318(100 - x) = 0
Resolvendo para x:
x8 = raiz318(100 - x)
18x = 8raiz3(100 - x)
x,(18 + 8raiz3) = 800raiz3
x = 800raiz318 + 8raiz3 = 1200raiz3 - 160011approx 43,49 cm

Passo 4

Verificando que a segunda derivada A''(x) é negativa no ponto crítico, confirmamos que se trata de máximo. A parte restante para o triângulo é 100 - x approx 56,51 cm.

Resposta

Cortar o barbante em duas partes de modo que a parte de comprimento x = 1200raiz3-160011approx 43,49 cm seja usada para o quadrado e a outra de comprimento 100 - x approx 56,51 cm seja usada para o triângulo equilátero.

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