Um barbante com 100 cm de comprimento pode ser cortado em duas partes de modo que uma dessas partes é dobrada no formato de um quadrado enquanto a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o barbante de forma que a área total englobada seja:
mínima?

Passo 1

O problema envolve um barbante de 100 cm que é cortado em duas partes: uma forma um quadrado e a outra um triângulo equilátero. Queremos minimizar a área total envolvida usando otimização de funções e derivadas.

Passo 2

Definimos x como o comprimento dedicado ao quadrado. O lado do quadrado é s = x/4 e sua área é As = (x/4)^2. O restante do barbante, de comprimento 100 - x, forma um triângulo equilátero de lado t = (100 - x)/3 com área At = tfracraiz34,t^2. A área total é
A(x) = l(x4r)^2 + raiz34l(100 - x3r)^2

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de A(x). Derivando, obtemos
A'(x) = x8 - raiz318(100 - x)
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico.

Passo 4

Igualando A'(x)=0 faz
x8 = raiz318(100 - x)
Multiplicando ambos os lados por 72,
9x = 4raiz3(100 - x)
Resolvendo para x resulta em
x = 400raiz39 + 4raiz3 approx 43,5 cm

Passo 5

Para confirmar que é mínimo, avaliamos a segunda derivada:
A''(x) = 18 + raiz318 > 0,
logo há mínimo global. Portanto, devemos cortar cerca de 43,5 cm para o quadrado e 56,5 cm para o triângulo equilátero.

Resposta

Deve-se usar x = 400raiz39 + 4raiz3approx 43,5 cm para o quadrado e 100 - xapprox 56,5 cm para o triângulo equilátero.

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