Um barbante com 100 cm de comprimento pode ser cortado em duas partes de modo que uma dessas partes é dobrada no formato de um quadrado enquanto a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o barbante de forma que a área total englobada seja:
mínima?
mínima?
Passo 1
O problema envolve um barbante de 100 cm que é cortado em duas partes: uma forma um quadrado e a outra um triângulo equilátero. Queremos minimizar a área total envolvida usando otimização de funções e derivadas.
Passo 2
Definimos
como o comprimento dedicado ao quadrado. O lado do quadrado é
e sua área é
. O restante do barbante, de comprimento
, forma um triângulo equilátero de lado
com área
. A área total é
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de
. Derivando, obtemos
Em seguida igualamos a zero para achar o ponto crítico.
Passo 4
Igualando
faz
Multiplicando ambos os lados por 72,
Resolvendo para
resulta em
Passo 5
Para confirmar que é mínimo, avaliamos a segunda derivada:
logo há mínimo global. Portanto, devemos cortar cerca de 43,5 cm para o quadrado e 56,5 cm para o triângulo equilátero.
Resposta
Deve-se usar
para o quadrado e
para o triângulo equilátero.