Uma fábrica produz caixas de papelão. Um modelo de caixa sem tampa será confeccionada a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 6 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados.
Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter?

Passo 1

O enunciado pede para montar uma caixa sem tampa a partir de um quadrado de papelão de 6 m de lado, cortando um quadrado de lado x em cada canto e dobrando as abas para cima. O conteúdo envolve montagem de função de volume e otimização (cálculo de derivada). Vamos precisar expressar o volume em função de x, derivar, achar pontos críticos e escolher o que dá volume máximo.

Passo 2

Para modelar o volume, observamos que, ao cortar quadrados de lado x, as dimensões da base ficam (6−2x) por (6−2x) e a altura é x. Assim, a função volume é
V(x)=x,(6-2x)^2

Passo 3

O domínio natural de x é de 0 até 3 (pois para x>3 a base vira negativa). Derivando:
V(x)=36x-24x^2+4x^3,
V'(x)=36-48x+12x^2=12(x^2-4x+3)
Igualando a zero temos x^2-4x+3=0, cujas raízes são x=1 e x=3.

Passo 4

Agora avaliamos V(x) nos candidatos do domínio:
V(0)=0, V(1)=1,(6-2)^2=16, V(3)=3,(6-6)^2=0
O maior valor é V(1)=16.

Passo 5

Portanto, o volume é máximo quando x=1 m, e esse maior volume é 16 m³.

Resposta

O maior volume é 16 m³, obtido para x = 1 m.

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