Uma fábrica produz caixas de papelão. Um modelo de caixa sem tampa será confeccionada a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 6 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados.
Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter?
Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter?
Passo 1
O enunciado pede para montar uma caixa sem tampa a partir de um quadrado de papelão de 6 m de lado, cortando um quadrado de lado x em cada canto e dobrando as abas para cima. O conteúdo envolve montagem de função de volume e otimização (cálculo de derivada). Vamos precisar expressar o volume em função de x, derivar, achar pontos críticos e escolher o que dá volume máximo.
Passo 2
Para modelar o volume, observamos que, ao cortar quadrados de lado x, as dimensões da base ficam (6−2x) por (6−2x) e a altura é x. Assim, a função volume é
Passo 3
O domínio natural de x é de 0 até 3 (pois para x>3 a base vira negativa). Derivando:
Igualando a zero temos x^2-4x+3=0, cujas raízes são x=1 e x=3.
Passo 4
Agora avaliamos V(x) nos candidatos do domínio:
O maior valor é V(1)=16.
Passo 5
Portanto, o volume é máximo quando x=1 m, e esse maior volume é 16 m³.
Resposta
O maior volume é 16 m³, obtido para x = 1 m.