Resolva y^prime prime-2 y^prime+y=e^xx ; y(1)=0, y^prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear de segunda ordem, solução da homogênea por equação característica e uso de variação de parâmetros para encontrar uma particular. Vamos precisar também aplicar condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Consideramos primeiro a equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 ,Rightarrow,(r-1)^2 = 0
Temos raiz dupla r=1, logo a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x),e^x
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Para a solução particular yp, usamos variação de parâmetros. As soluções fundamentais são y1=e^x e y2 = x e^x. O Wronskiano é
As fórmulas dão
W = eginvmatrixe^x & x e^x e^x & (1+x)e^x = e^xigl((1+x)e^xigr) - e^x igl(x e^xigr) = e^2x
Integrando,
u1' = -y2,g(x)W = -x e^xcdot (e^x/x)e^2x = -1, nu2' = y1,g(x)W = e^xcdot (e^x/x)e^2x = 1x
Logo
nu1(x) = -x, nu2(x) = ln x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh + yp = (C1 + C2 x)e^x + x e^x(ln x - 1)
Agora aplicamos as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=1. Primeiro
y(1) = el(C1 + C2 + (ln1 - 1)r) = e(C1 + C2 -1) = 0
Rightarrow C1 + C2 = 1
Em seguida derivamos e avaliamo em x=1:
y'(x) = e^xl(C1 + C2 + C2 xr) + e^xl((1+x)ln x - xr),
logo
y'(1) = el(C1 + 2C2 -1r) = 1
Rightarrow C1 + 2C2 -1 = 1e

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, C1 + 2C2 = 1 + tfrac1e,
tenho C2 = 1/e e C1 = 1 - 1/e.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = (1 - tfrac1e)e^x + xee^x + x e^x(ln x - 1)
ou, de forma mais compacta,
y(x) = e^xl(xln x - x + 1r) + e^x-1(x - 1)

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