Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear de segunda ordem, solução da homogênea por equação característica e uso de variação de parâmetros para encontrar uma particular. Vamos precisar também aplicar condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Consideramos primeiro a equação homogênea associada:
A equação característica é
Temos raiz dupla
, logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Para a solução particular
, usamos variação de parâmetros. As soluções fundamentais são
e
. O Wronskiano é
As fórmulas dão
Integrando,
Logo
Passo 4
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais
e
. Primeiro
Em seguida derivamos e avaliamo em
:
logo
Passo 5
Resolvendo o sistema
tenho
e
.
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é
ou, de forma mais compacta,