3 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Calcule o trabalho realizado pela força F=x^{2} y i+y^{2} x j desde (0,0) até (1,1) nos seguintes casos (Sistema Internacional):
a) ao longo da reta \mathrm{y}=\mathrm{x};
b) ao longo da parábola y=x^{2}.
c) A força F é conservativa? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de força
\mathbf{F}(x,y)=x^{2}y\,\mathbf{i}+y^{2}x\,\mathbf{j}
e pede o trabalho
\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
desde (0,0) até (1,1) em dois caminhos: (a) a reta y=x e (b) a parábola y=x^{2}. Além disso, pergunta se \mathbf{F} é conservativa. Vamos usar parametrizações adequadas e, ao final, verificar se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 2

Para a reta y=x tomamos a parametrização
\mathbf{r}(t)=(t,t),\quad 0\le t\le1,
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\mathbf{r}'(t)=(1,1).
Em cada ponto \mathbf{r}(t) temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t^{2}\cdot t,\;t^{2}\cdot t)=(t^{3},t^{3}).
Assim o trabalho é
W_{1} =\int_{0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt =\int_{0}^{1}(t^{3},t^{3})\cdot(1,1)\,dt =\int_{0}^{1}2\,t^{3}\,dt =2\bigl[\tfrac{t^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac12.

Passo 3

Para a parábola y=x^{2} usamos
\mathbf{r}(t)=(t,t^{2}),\quad 0\le t\le1,
de modo que
\mathbf{r}'(t)=(1,2t).
Calculamos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t^{2}\cdot t^{2},\;(t^{2})^{2}\cdot t)=(t^{4},t^{5}).
O trabalho é
W_{2} =\int_{0}^{1}(t^{4},t^{5})\cdot(1,2t)\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(t^{4}+2\,t^{6}\bigr)\,dt =\bigl[\tfrac{t^{5}}{5}+\tfrac{2\,t^{7}}{7}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac15+\tfrac{2}{7} =\tfrac{7+10}{35} =\tfrac{17}{35}.

Passo 4

Para ver se \mathbf{F} é conservativa, escrevemos P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=y^{2}x e comparamos:
\frac{\partial P}{\partial y}=x^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=y^{2}.
Como x^{2}\neq y^{2} em geral, o rotacional não é zero e \mathbf{F} não é conservativa (o trabalho depende do caminho).

Resposta

a) W_{1}=\tfrac12
b) W_{2}=\tfrac{17}{35}
c) \mathbf{F} não é conservativa, pois \partial P/\partial y=x^{2}\neq y^{2}=\partial Q/\partial x.

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