2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Um corpo move-se horizontalmente, ao longo do eixo x, sob a ação da força exercida por uma mola (F=-kxi). Calcule o seu trabalho desde x=0 (quando a mola não está esticada nem comprimida) até a posição arbitrária x, positiva ou negativa.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força elástica de mola, que é uma força variável dada por
\mathbf{F}(x) = -k\,x\,\hat{\mathbf{i}}
ao deslocar-se de x=0 até uma posição arbitrária x (positiva ou negativa). O conteúdo é “trabalho de uma força variável” e vamos usar a definição
W = \int_{x_i}^{x_f} \mathbf{F}(x)\cdot d\mathbf{r}\,.

Passo 2

Como o movimento é unidimensional ao longo de x, d\mathbf{r}=dx\,\hat{\mathbf{i}} e o produto escalar fica
\mathbf{F}(x)\cdot d\mathbf{r} = \bigl(-k\,x\,\hat{\mathbf{i}}\bigr)\cdot\bigl(dx\,\hat{\mathbf{i}}\bigr) = -k\,x\,dx.
Logo o trabalho de x=0 até x é
W = \int_{0}^{x} -k\,x'\,dx'.

Passo 3

Agora integramos a função de x':
W = -k \int_{0}^{x} x'\,dx' = -k \biggl[\frac{{x'}^{2}}{2}\biggr]_{0}^{x} = -\frac{k\,x^{2}}{2} + 0.

Resposta

W = -\tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}.

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