1 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Sobre um corpo, movendo-se ao longo do eixo x, atua a força F(x)=\left(3 x^{2}-6 x\right) i Newtons. Qual o trabalho realizado desde:
a) x=0 até x=1 m ?
b) x=0 até x=3 \mathrm{~m} ?
c) x=0 até x=5 \mathrm{~m} ?
d) A força F é conservativa? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a força variável F(x)=3x^{2}-6x Newtons agindo num corpo que se move ao longo do eixo x. Precisamos calcular o trabalho feito por essa força de x=0 a certos pontos e investigar se ela é conservativa. O conteúdo é trabalho de força variável e definição de força conservativa.

Passo 2

O trabalho realizado por uma força unidimensional F(x) ao deslocar-se de x=a até x=b é
W_{a\to b}=\int_{a}^{b}F(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de F(x)=3x^{2}-6x:
W(x)=\int F(x)\,\mathrm{d}x=\int(3x^{2}-6x)\,\mathrm{d}x = x^{3}-3x^{2}+C.

Passo 4

Usamos W(x)=x^{3}-3x^{2} (descartando a constante) para cada intervalo:
Para x=0 até x=1:
W_{0\to1}=\bigl[x^{3}-3x^{2}\bigr]_{0}^{1}=(1-3)-0=-2.
Logo, W_{0\to1}=-2\text{ J}.
Para x=0 até x=3:
W_{0\to3}=\bigl[x^{3}-3x^{2}\bigr]_{0}^{3}=(27-27)-0=0.
Logo, W_{0\to3}=0\text{ J}.
Para x=0 até x=5:
W_{0\to5}=\bigl[x^{3}-3x^{2}\bigr]_{0}^{5}=(125-75)-0=50.
Logo, W_{0\to5}=50\text{ J}.

Passo 5

Como F(x) depende só de x e admite uma energia potencial U(x) tal que
U(x)=-\int F(x)\,\mathrm{d}x = -\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr) = -x^{3}+3x^{2} + \text{const},
temos F(x)=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x. Portanto, F é conservativa.

Resposta

(a) -2\text{ J}.
(b) 0\text{ J}.
(c) 50\text{ J}.
(d) A força é conservativa, pois admite energia potencial U(x)=-x^{3}+3x^{2}.

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