3 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Calcule o vetor unitário normal à superfície do elipsoide.
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície elipsoidal
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
e pede: calcular o vetor unitário normal a esta superfície. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. Pontos (x,y,z) pertencem ao elipsoide quando satisfazem a equação acima.
  2. Os parâmetros a, b e c são constantes positivas (como é usual num elipsoide).
  3. A pergunta é: qual é o vetor unitário normal à superfície em um ponto genérico (x,y,z) do elipsoide? (Há, em geral, duas direções possíveis — normal “para fora” e “para dentro”.)

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): superfícies definidas por uma equação do tipo F(x,y,z)= constante têm como vetores normais os vetores gradiente de F. Vou explicar isso devagarinho.
Definição do gradiente: se F(x,y,z) é uma função diferenciável, o gradiente \nabla F é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\;\frac{\partial F}{\partial y},\;\frac{\partial F}{\partial z}\right).
O que significa: cada componente diz a taxa de variação de F quando você mexe só naquela coordenada.
Por que \nabla F é perpendicular à superfície F= constante? Considere uma curva \mathbf{r}(t) que esteja dentro da superfície (ou seja, para todo t vale F(\mathbf{r}(t))= constante). Diferenciando em t e aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}F(\mathbf{r}(t))=\nabla F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0.
Como \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente à superfície, o produto escalar nulo mostra que \nabla F é ortogonal a todo vetor tangente. Logo \nabla F é um vetor normal à superfície. Para obter o vetor unitário normal, normalizamos \nabla F, ou seja, dividimos por sua norma.

Passo 3

Aplicando isso ao elipsoide: escrevemos a equação como nível de uma função F. Defina
F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1.
Observação: na superfície temos F(x,y,z)=0. Agora calculemos as derivadas parciais (vou mostrar cada passo das derivadas):
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{2x}{a^{2}},
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2y}{b^{2}},
\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2z}{c^{2}}.
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{2x}{a^{2}},\;\frac{2y}{b^{2}},\;\frac{2z}{c^{2}}\right).

Passo 4

Agora vamos normalizar \nabla F. Primeiro calculamos a norma (módulo) de \nabla F. A norma de um vetor (u,v,w) é \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}. Aplicando aqui:
\|\nabla F\|=\sqrt{\left(\frac{2x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2z}{c^{2}}\right)^{2}}.
Vou fatorar o 2 para simplificar:
\|\nabla F\|=2\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}+\frac{z^{2}}{c^{4}}}.
Explicando: cada termo foi ao quadrado, então (2x/a^{2})^{2}=4x^{2}/a^{4}. Tirando a raiz, extraímos o fator 2.

Passo 5

O vetor unitário normal (ambíguo quanto ao sinal) é \nabla F dividido por sua norma:
\hat{\mathbf{n}}=\pm\frac{\nabla F}{\|\nabla F\|}.
Substituindo \nabla F e sua norma e simplificando o fator 2 (ele cancela), obtemos
\hat{\mathbf{n}}=\pm\frac{\left(\dfrac{x}{a^{2}},\;\dfrac{y}{b^{2}},\;\dfrac{z}{c^{2}}\right)} {\sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{4}}+\dfrac{y^{2}}{b^{4}}+\dfrac{z^{2}}{c^{4}}}}.
Comentário sobre o sinal (qual escolher para “para fora”): o gradiente \nabla F que calculámos é \left(\dfrac{2x}{a^{2}},\dfrac{2y}{b^{2}},\dfrac{2z}{c^{2}}\right). Para um ponto (x,y,z) do elipsoide, o produto escalar \nabla F\cdot(x,y,z)=2\left(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\right)=2>0, porque na superfície a soma dá 1. Isso mostra que \nabla F aponta na mesma “direção geral” do vetor posição (x,y,z), ou seja, aponta para fora do interior do elipsoide. Portanto a escolha do sinal + dá o vetor normal unitário voltado para fora; o sinal - dá o normal voltado para dentro.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  1. No ponto (a,0,0) (que pertence ao elipsoide), a fórmula dá
\hat{\mathbf{n}}=\pm\frac{\left(\dfrac{a}{a^{2}},0,0\right)}{\sqrt{\dfrac{a^{2}}{a^{4}}}}=\pm(1,0,0).
O normal externo é (1,0,0), como era de se esperar.
2. No ponto (0,b,0) o normal externo é (0,1,0).
3. No ponto (0,0,c) o normal externo é (0,0,1).

Resposta

\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=\pm\frac{\left(\dfrac{x}{a^{2}},\;\dfrac{y}{b^{2}},\;\dfrac{z}{c^{2}}\right)}{\sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{4}}+\dfrac{y^{2}}{b^{4}}+\dfrac{z^{2}}{c^{4}}}}
\displaystyle (o sinal + fornece o vetor normal unitário voltado para fora do elipsoide)

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