3 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Calcule o vetor unitário normal à superfície do elipsoide.
Passo 1
O enunciado dá a superfície elipsoidal
e pede: calcular o vetor unitário normal a esta superfície. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Pontos
pertencem ao elipsoide quando satisfazem a equação acima. - Os parâmetros
, e são constantes positivas (como é usual num elipsoide). - A pergunta é: qual é o vetor unitário normal à superfície em um ponto genérico
do elipsoide? (Há, em geral, duas direções possíveis — normal “para fora” e “para dentro”.)
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): superfícies definidas por uma equação do tipo
constante têm como vetores normais os vetores gradiente de
. Vou explicar isso devagarinho.
Definição do gradiente: se
é uma função diferenciável, o gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
O que significa: cada componente diz a taxa de variação de
quando você mexe só naquela coordenada.
Por que
é perpendicular à superfície
constante? Considere uma curva
que esteja dentro da superfície (ou seja, para todo
vale
constante). Diferenciando em
e aplicando a regra da cadeia:
Como
é um vetor tangente à superfície, o produto escalar nulo mostra que
é ortogonal a todo vetor tangente. Logo
é um vetor normal à superfície. Para obter o vetor unitário normal, normalizamos
, ou seja, dividimos por sua norma.
Passo 3
Aplicando isso ao elipsoide: escrevemos a equação como nível de uma função
. Defina
Observação: na superfície temos
. Agora calculemos as derivadas parciais (vou mostrar cada passo das derivadas):
Portanto o gradiente é
Passo 4
Agora vamos normalizar
. Primeiro calculamos a norma (módulo) de
. A norma de um vetor
é
. Aplicando aqui:
Vou fatorar o
para simplificar:
Explicando: cada termo foi ao quadrado, então
. Tirando a raiz, extraímos o fator
.
Passo 5
O vetor unitário normal (ambíguo quanto ao sinal) é
dividido por sua norma:
Substituindo
e sua norma e simplificando o fator
(ele cancela), obtemos
Comentário sobre o sinal (qual escolher para “para fora”): o gradiente
que calculámos é
. Para um ponto
do elipsoide, o produto escalar
, porque na superfície a soma dá
. Isso mostra que
aponta na mesma “direção geral” do vetor posição
, ou seja, aponta para fora do interior do elipsoide. Portanto a escolha do sinal
dá o vetor normal unitário voltado para fora; o sinal
dá o normal voltado para dentro.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- No ponto
(que pertence ao elipsoide), a fórmula dá
O normal externo é
, como era de se esperar.
2. No ponto o normal externo é
.
3. No ponto o normal externo é
.
2. No ponto
3. No ponto