- Uma partícula oscila ao longo do eixo
com movimento harmônico simples, dado por:
, onde
é dado em m e t em segundos.
Nessas condições, determine:
a) a amplitude, a freqüência e a fase inicial.
b) A velocidade e a aceleração em função do tempo.
Nessas condições, determine:
a) a amplitude, a freqüência e a fase inicial.
b) A velocidade e a aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos.
As perguntas são:
a) Determinar a amplitude, a frequência e a fase inicial.
b) Encontrar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
As perguntas são:
a) Determinar a amplitude, a frequência e a fase inicial.
b) Encontrar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
Passo 2
Vamos identificar a forma geral do movimento harmônico simples que o enunciado usa. A forma padrão é
onde:
-
é a amplitude (o maior valor absoluto de , em metros). -
é a pulsação ou frequência angular (em rad/s). -
é a fase inicial (em radianos), que define a posição no ciclo em . - A frequência (em Hz) é dada por
.
Aquisão constantes. Agora vamos comparar a expressão dada com essa forma padrão para identificar .
Passo 3
Comparando
com
, temos:
- amplitude:
Expliquei: amplitude é simplesmente o número multiplicando o cosseno; é o valor máximo quepode atingir.
Passo 4
Ainda comparando os argumentos do cosseno:
- a pulsação (frequência angular) é
A partir deobtemos a frequência (ciclos por segundo) usando
Substituindo
,
Expliquei:
nos diz quantas oscilações completas ocorrem por segundo.
Passo 5
A fase inicial é o termo que aparece somando à
dentro do cosseno:
Expliquei: a fase inicial indica a posição relativa da partícula no ciclo no instante
. Por exemplo,
.
Passo 6
Agora vamos obter a velocidade como função do tempo. A velocidade é a derivada temporal da posição:
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
e
. Assim,
Substituindo
e
e
:
Expliquei: o fator
é a amplitude da velocidade (valor máximo absoluto de
) e a função seno deslocada descreve como a velocidade varia no tempo.
Passo 7
Agora a aceleração é a derivada da velocidade:
Derivando
usando a regra da cadeia (a derivada de
é
), obtemos
Note que isto também pode ser escrito como
, pois
. Substituindo os valores numéricos:
Expliquei: a aceleração tem a mesma forma do deslocamento (coseno), mas com sinal invertido e multiplicada por
, característica do movimento harmônico simples.
Passo 8
Como checagem rápida (útil na prova): calculemos os valores iniciais em
.
-
-
Isso confirma que a partícula começa em zero deslocamento com velocidade negativa (isto ajuda a entender o sinal da fase).
Resposta
a) Amplitude:
a) Frequência:
a) Fase inicial:
b) Velocidade:
b) Aceleração:
a) Frequência:
a) Fase inicial:
b) Velocidade:
b) Aceleração: