• Uma partícula oscila ao longo do eixo x com movimento harmônico simples, dado por:
    x=2,0 \cos (\pi t+\pi / 2), onde x é dado em m e t em segundos.
    Nessas condições, determine:
    a) a amplitude, a freqüência e a fase inicial.
    b) A velocidade e a aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
x = 2,0\cos\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr),
onde x está em metros e t em segundos.
As perguntas são:
a) Determinar a amplitude, a frequência e a fase inicial.
b) Encontrar a velocidade e a aceleração em função do tempo.

Passo 2

Vamos identificar a forma geral do movimento harmônico simples que o enunciado usa. A forma padrão é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (o maior valor absoluto de x, em metros).
  • \omega é a pulsação ou frequência angular (em rad/s).
  • \varphi é a fase inicial (em radianos), que define a posição no ciclo em t=0.
  • A frequência (em Hz) é dada por f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
    Aqui A,\omega,\varphi são constantes. Agora vamos comparar a expressão dada com essa forma padrão para identificar A,\omega,\varphi.

Passo 3

Comparando
x = 2,0\cos\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)
com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), temos:
  • amplitude: \;A = 2,0\\ \text{m}.
    Expliquei: amplitude é simplesmente o número multiplicando o cosseno; é o valor máximo que |x| pode atingir.

Passo 4

Ainda comparando os argumentos do cosseno:
  • a pulsação (frequência angular) é \;\omega = \pi\\ \text{rad/s}.
    A partir de \omega obtemos a frequência (ciclos por segundo) usando
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=\pi,
f=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}=0,5\\ \text{Hz}.
Expliquei: f nos diz quantas oscilações completas ocorrem por segundo.

Passo 5

A fase inicial é o termo que aparece somando à \omega t dentro do cosseno:
\varphi = \tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
Expliquei: a fase inicial indica a posição relativa da partícula no ciclo no instante t=0. Por exemplo, x(0)=A\cos(\varphi).

Passo 6

Agora vamos obter a velocidade como função do tempo. A velocidade é a derivada temporal da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aqui u(t)=\omega t+\varphi e u'(t)=\omega. Assim,
v(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Substituindo A=2,0 e \omega=\pi e \varphi=\tfrac{\pi}{2}:
v(t) = -2,0\;\pi\;\sin\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s}.
Expliquei: o fator -A\omega é a amplitude da velocidade (valor máximo absoluto de v) e a função seno deslocada descreve como a velocidade varia no tempo.

Passo 7

Agora a aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Derivando v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) usando a regra da cadeia (a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'), obtemos
a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
Note que isto também pode ser escrito como a(t)=-\omega^2 x(t), pois x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Substituindo os valores numéricos:
a(t) = -2,0\;\pi^2\;\cos\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s}^2.
Expliquei: a aceleração tem a mesma forma do deslocamento (coseno), mas com sinal invertido e multiplicada por \omega^2, característica do movimento harmônico simples.

Passo 8

Como checagem rápida (útil na prova): calculemos os valores iniciais em t=0.
  • x(0)=2,0\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2,0\cdot 0=0\\ \text{m}.
  • v(0)=-2,0\pi\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-2,0\pi\\ \text{m/s}.
    Isso confirma que a partícula começa em zero deslocamento com velocidade negativa (isto ajuda a entender o sinal da fase).

Resposta

a) Amplitude: A=2,0\\ \text{m}
a) Frequência: f=0,5\\ \text{Hz}
a) Fase inicial: \varphi=\tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}
b) Velocidade: v(t)=-2,0\pi\sin\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s}
b) Aceleração: a(t)=-2,0\pi^{2}\cos\bigl(\pi t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s}^{2}

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