2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Um corpo move-se horizontalmente, ao longo do eixo x , sob a ação da força exercida por uma mola ( \mathrm{F}=-\mathrm{kxi} ). Calcule o seu trabalho desde \mathrm{x}=0 (quando a mola não está esticada nem comprimida) até a posição arbitrária x , positiva ou negativa.

Passo 1

O enunciado dá que uma mola exerce a força \mathbf{F} = -k x\,\mathbf{i} sobre um corpo que se desloca ao longo do eixo x. Ponto inicial: \,x_i=0 (mola na posição natural, sem deformação). Ponto final: uma posição arbitrária \,x (pode ser positiva ou negativa).
O que pede: calcular o trabalho realizado pela força da mola quando o corpo vai de \,x=0 até \,x .

Passo 2

Recordando a definição de trabalho de uma força ao longo de um deslocamento unidimensional: o trabalho é a integral do produto escalar da força pelo elemento de deslocamento,
W=\int_{x_i}^{x_f}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui o movimento é ao longo do eixo x, logo d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}. O produto escalar reduz-se a multiplicação das componentes em x:
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_x\,dx.
A componente x da força é F_x=-k x. Portanto o integrando será -k x\,dx. (Usei a variável x para a posição; na integral é conveniente usar uma variável de integração distinta, ver próximo passo.)

Passo 3

Escolhemos a variável de integração \,x' para não confundir o limite superior \,x com a variável que está sendo integrada. Os limites são de \,x'=0 até \,x'=x. Montamos a integral do trabalho:
W=\int_{0}^{x} (-k x')\,dx'.
Aqui k é constante (constante elástica positiva da mola), e -k x' é a componente da força da mola em cada posição x'.

Passo 4

Calcule a integral passo a passo. Podemos tirar a constante -k fora da integral:
W=-k\int_{0}^{x} x'\,dx'.
Integramos x': a primitiva de x' é \dfrac{{x'}^{2}}{2}. Assim
W=-k\left[\frac{{x'}^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=-k\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}k x^{2}.
Portanto o trabalho realizado pela força da mola ao deslocar-se de \,0 até \,x é -\dfrac{1}{2}k x^{2}.

Passo 5

Interpretação física e comentários didáticos:
  • O sinal negativo aparece porque a força da mola aponta sempre na direção que tende a devolver o corpo à posição de equilíbrio; quando o corpo se afasta de 0 (para a direita se x>0, para a esquerda se x<0), a força da mola tem sentido oposto ao deslocamento, então o produto escalar é negativo.
  • A fórmula vale tanto para \,x>0 quanto para \,x<0 porque depende de x^{2}.
  • Relação com energia potencial elástica: a energia potencial armazenada na mola é U(x)=\dfrac{1}{2}k x^{2}. O trabalho da força da mola é W=-\Delta U. Assim, saindo de 0 (onde U=0) até x, temos W=-\bigl(U(x)-U(0)\bigr)=-\dfrac{1}{2}k x^{2}.
  • Exemplo rápido: se k=100\\ \text{N/m} e x=0{,}1\\ \text{m}, então W=-\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot(0{,}1)^{2}=-0{,}5\\ \text{J}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}k x^{2}

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