2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Um corpo move-se horizontalmente, ao longo do eixo x , sob a ação da força exercida por uma mola (
). Calcule o seu trabalho desde
(quando a mola não está esticada nem comprimida) até a posição arbitrária x , positiva ou negativa.
Passo 1
O enunciado dá que uma mola exerce a força
sobre um corpo que se desloca ao longo do eixo
. Ponto inicial:
(mola na posição natural, sem deformação). Ponto final: uma posição arbitrária
(pode ser positiva ou negativa).
O que pede: calcular o trabalho realizado pela força da mola quando o corpo vai de até
.
O que pede: calcular o trabalho realizado pela força da mola quando o corpo vai de
Passo 2
Recordando a definição de trabalho de uma força ao longo de um deslocamento unidimensional: o trabalho é a integral do produto escalar da força pelo elemento de deslocamento,
Aqui o movimento é ao longo do eixo
, logo
. O produto escalar reduz-se a multiplicação das componentes em
:
A componente
da força é
. Portanto o integrando será
. (Usei a variável
para a posição; na integral é conveniente usar uma variável de integração distinta, ver próximo passo.)
Passo 3
Escolhemos a variável de integração
para não confundir o limite superior
com a variável que está sendo integrada. Os limites são de
até
. Montamos a integral do trabalho:
Aqui
é constante (constante elástica positiva da mola), e
é a componente da força da mola em cada posição
.
Passo 4
Calcule a integral passo a passo. Podemos tirar a constante
fora da integral:
Integramos
: a primitiva de
é
. Assim
Portanto o trabalho realizado pela força da mola ao deslocar-se de
até
é
.
Passo 5
Interpretação física e comentários didáticos:
- O sinal negativo aparece porque a força da mola aponta sempre na direção que tende a devolver o corpo à posição de equilíbrio; quando o corpo se afasta de
(para a direita se , para a esquerda se ), a força da mola tem sentido oposto ao deslocamento, então o produto escalar é negativo. - A fórmula vale tanto para
quanto para porque depende de . - Relação com energia potencial elástica: a energia potencial armazenada na mola é
. O trabalho da força da mola é . Assim, saindo de (onde ) até , temos . - Exemplo rápido: se
e , então .