• Um corpo de massa 0,12 \mathrm{~kg} executa MHS de amplitude 9 cm e período 0,3 \mathrm{~s}.
    (a) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual a constante elástica da mola?
    (b) Qual é o módulo da força máxima que atua sobre ele?
    (c) Quanto vale a energia mecânica do sistema?
    (d) Qual o valor da velocidade máxima adquirida pelo corpo neste movimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados:
m=0,12\\ \mathrm{kg}
A=9\\ \mathrm{cm}=0,09\\ \mathrm{m}
T=0,3\\ \mathrm{s}
Perguntas:
(a) Qual a constante elástica da mola k?
(b) Qual o módulo da força máxima que atua sobre o corpo F_{\max}?
(c) Qual a energia mecânica do sistema E?
(d) Qual a velocidade máxima adquirida v_{\max}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadas de forma prática):
  • Oscilador massa-mola em MHS tem frequência angular \omega relacionada ao período T por
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Aqui \omega tem unidade rad/s, T em segundos. Essa fórmula vem da definição de período: em um ciclo completo o ângulo varia 2\pi radianos em tempo T.
  • A constante elástica da mola k relaciona-se com \omega e a massa m por
k=m\omega^{2}.
Explicação: para MHS do sistema massa-mola a equação do movimento lineariza para m\ddot{x}=-kx, que leva à solução com \omega=\sqrt{k/m}; isolando k obtemos a fórmula acima. Aqui k tem unidade N/m.
  • A força elástica (lei de Hooke) é \vec{F}=-k\vec{x}. O módulo máximo da força ocorre na amplitude x=A, logo
F_{\max}=kA.
Explicação: o sinal negativo só indica direção oposta ao deslocamento; para módulo usamos valor positivo.
  • A energia mecânica total (conservada no MHS sem atrito) está toda armazenada na forma de energia potencial máxima na amplitude:
E=\frac{1}{2}kA^{2}.
  • A velocidade máxima ocorre quando a energia é totalmente cinética (passa pela posição de equilíbrio x=0), e pode ser obtida por
v_{\max}=\omega A.
Ou alternativamente de E=\tfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}, levando ao mesmo resultado.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega usando \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
\omega=\frac{2\pi}{0,3}
Vamos avaliar numericamente: 2\pi\approx 6,283185, então
\omega\approx\frac{6,283185}{0,3}\approx 20,94395\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a constante elástica k usando k=m\omega^{2}.
Primeiro \omega^{2}:
\omega^{2}\approx (20,94395)^{2}\approx 438,65\\ \mathrm{(rad/s)^2}.
Agora
k=m\omega^{2}=0,12\times 438,65\approx 52,638\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas compatíveis com os dados):
k\approx 52,6\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Calcular o módulo da força máxima F_{\max}=kA.
F_{\max}=52,638\times 0,09\\ \mathrm{N}
F_{\max}\approx 4,7374\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
F_{\max}\approx 4,74\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a energia mecânica total E=\dfrac{1}{2}kA^{2}.
Primeiro A^{2}:
A^{2}=(0,09)^{2}=0,0081\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora
E=\tfrac{1}{2}\times 52,638\times 0,0081\\ \mathrm{J}
E\approx 0,2132\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
E\approx 0,213\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a velocidade máxima v_{\max}=\omega A (usando \omega já calculada).
v_{\max}=\;20,94395\times 0,09\\ \mathrm{m/s}
v_{\max}\approx 1,88496\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_{\max}\approx 1,88\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida de consistência: verifique por energia cinética máxima \tfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}\approx\tfrac{1}{2}\times0,12\times(1,88496)^{2}\approx 0,2132\\ \mathrm{J}, que coincide com E calculada — bom sinal!

Resposta

(a) k\approx 52,6\\ \mathrm{N/m}
(b) F_{\max}\approx 4,74\\ \mathrm{N}
(c) E\approx 0,213\\ \mathrm{J}
(d) v_{\max}\approx 1,88\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados