2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais { }^{1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma função escalar \varphi(x,y,z), as superfícies definidas por
\varphi(x,y,z)=C
são chamadas de superfícies equipotenciais e que o vetor gradiente \nabla\varphi é sempre perpendicular a essas superfícies. Para provar isso, vamos usar a ideia de derivada direcional ao longo de uma curva contida na superfície.

Passo 2

Considere uma curva suave \mathbf{r}(t) que se move sobre a superfície equipotencial \varphi=C. Isso significa que, para todo t, vale
\varphi\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=C.
Como C é constante, a derivada total dessa expressão em relação a t é zero.

Passo 3

Pela regra da cadeia, temos
\frac{d}{dt}\,\varphi\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\nabla\varphi\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\;\cdot\;\frac{d\mathbf{r}}{dt} =0.
Aqui \tfrac{d\mathbf{r}}{dt} é um vetor tangente à superfície equipotencial em \mathbf{r}(t). O produto escalar nulo implica que
\nabla\varphi\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\;\perp\;\frac{d\mathbf{r}}{dt}.

Passo 4

Como \frac{d\mathbf{r}}{dt} representa qualquer direção tangente à superfície \varphi=C, o fato de \nabla\varphi ser ortogonal a todo vetor tangente faz de \nabla\varphi um vetor normal à superfície equipotencial em cada ponto.

Resposta

Logo, o vetor gradiente \nabla\varphi é perpendicular às superfícies equipotenciais \varphi(x,y,z)=C.

Exercícios relacionados