2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma função escalar
, as superfícies definidas por
são chamadas de superfícies equipotenciais e que o vetor gradiente
é sempre perpendicular a essas superfícies. Para provar isso, vamos usar a ideia de derivada direcional ao longo de uma curva contida na superfície.
Passo 2
Considere uma curva suave
que se move sobre a superfície equipotencial
. Isso significa que, para todo
, vale
Como
é constante, a derivada total dessa expressão em relação a
é zero.
Passo 3
Pela regra da cadeia, temos
Aqui
é um vetor tangente à superfície equipotencial em
. O produto escalar nulo implica que
Passo 4
Como
representa qualquer direção tangente à superfície
, o fato de
ser ortogonal a todo vetor tangente faz de
um vetor normal à superfície equipotencial em cada ponto.
Resposta
Logo, o vetor gradiente
é perpendicular às superfícies equipotenciais
.