Questão 01 - Considere um objeto de 3,00 \mathrm{~kg} preso a uma mola de constante elástica k. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio, o sistema oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. Se ele for deslocado 0,12 \mathrm{~m} de sua posição de equilíbrio e liberado com velocidade inicial igual a zero, depois de 0,30 \mathrm{~s} verifica-se que seu deslocamento é de 0,12 \mathrm{~m} no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. Encontre
[\mathbf{1 , 0 ~ P}] a) as funções, em relação ao tempo t, que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração do oscilador bloco-mola e seus valores máximos;
[0,5 P] b) a energia mecânica, cinética e potencial do sistema; Como essas energias variam no sistema?
[0,5 \mathrm{P}] c) a posição na qual a velocidade do sistema é metade do seu valor máximo;

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=3,00\:\mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica k, em superfície horizontal sem atrito. Ele é deslocado A=0,12\:\mathrm{m} de sua posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial nula. Após t=0,30\:\mathrm{s} verifica-se x=-A e que o bloco passou uma vez pela origem nesse intervalo. O conteúdo é Movimento Harmônico Simples (MHS), onde usaremos
T=\frac{2\pi}{\omega},\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\quad v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
e as expressões de energia.

Passo 2

Como sair de x=+A e chegar a x=-A requer meio período, temos
\frac{T}{2}=0,30\:\mathrm{s}\;\Longrightarrow\;T=0,60\:\mathrm{s}.
Logo
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,60}=\frac{10\pi}{3}\:\mathrm{rad/s}, \qquad k=m\,\omega^2=3,00\cdot\Bigl(\frac{10\pi}{3}\Bigr)^2=\frac{100\pi^2}{3}\approx329\:\mathrm{N/m}.

Passo 3

Como x(0)=+A e v(0)=0, o ângulo de fase é \varphi=0. Assim,
x(t)=A\cos\bigl(\omega t\bigr) =0,12\cos\!\Bigl(\frac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m},
v(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t\bigr) =-0,12\cdot\frac{10\pi}{3}\,\sin\!\Bigl(\frac{10\pi}{3}t\Bigr) =-0,4\pi\sin\!\Bigl(\frac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m/s},
a(t)=-A\,\omega^2\cos\bigl(\omega t\bigr) =-0,12\cdot\frac{100\pi^2}{9}\,\cos\!\Bigl(\frac{10\pi}{3}t\Bigr) =-\frac{4\pi^2}{3}\cos\!\Bigl(\frac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m/s^2}.
Os valores máximos são
x_{\max}=A=0,12\:\mathrm{m},\quad v_{\max}=A\,\omega=0,12\cdot\frac{10\pi}{3}=0,4\pi\approx1,26\:\mathrm{m/s},\quad a_{\max}=A\,\omega^2=\frac{4\pi^2}{3}\approx13,16\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 4

A energia mecânica total é constante em MHS e vale
E=\frac12\,k\,A^2 =\frac12\cdot\frac{100\pi^2}{3}\cdot(0,12)^2 =0,24\pi^2\approx2,37\:\mathrm{J}.
Em cada instante
T_{\text{cin}}=\frac12\,m\,v^2,\qquad U_{\text{elas}}=\frac12\,k\,x^2,
e satisfazem
E=T_{\text{cin}}+U_{\text{elas}}.
Conforme o bloco oscila, T_{\text{cin}} atinge máximo em x=0 e zero em x=\pm A, enquanto U_{\text{elas}} faz o complemento, de modo que a soma permaneça E.

Passo 5

Queremos x tal que \lvert v\rvert =\tfrac12\,v_{\max}. Em MHS vale
v^2=\omega^2\,(A^2-x^2).
Substituindo v=\tfrac12A\omega
\Bigl(\tfrac12A\omega\Bigr)^2=\omega^2\,(A^2-x^2) \;\Longrightarrow\; \frac14A^2=A^2-x^2 \;\Longrightarrow\; x^2=\frac34A^2 \;\Longrightarrow\; x=\pm\frac{\sqrt3}{2}A\approx\pm0,104\:\mathrm{m}.

Resposta

a)
x(t)=0,12\cos\!\Bigl(\tfrac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m},\quad v(t)=-0,4\pi\sin\!\Bigl(\tfrac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m/s},\quad a(t)=-\tfrac{4\pi^2}{3}\cos\!\Bigl(\tfrac{10\pi}{3}t\Bigr)\:\mathrm{m/s^2}.
Valores máximos: x_{\max}=0,12\:\mathrm{m}, v_{\max}=0,4\pi\approx1,26\:\mathrm{m/s}, a_{\max}=\tfrac{4\pi^2}{3}\approx13,16\:\mathrm{m/s^2}.
b)
E=\tfrac12kA^2=0,24\pi^2\approx2,37\:\mathrm{J},\quad T_{\text{cin}}=\tfrac12mv^2,\quad U_{\text{elas}}=\tfrac12kx^2,
com E constante, T_{\text{cin}} máxima em x=0 e U_{\text{elas}} máxima em x=\pm A.
c)
x=\pm\frac{\sqrt3}{2}A\approx\pm0,104\:\mathrm{m}.

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