3 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Considere os seguintes dados para o Sol:
  • Massa: M=2,0 times 10^30 kg
  • Raio: R=7,0 times 10^8 m
    a) Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão da velocidade de escape e, a partir dela, determine a velocidade de escape da superfície do Sol. Mostre que essa velocidade é aproximadamente 620 km / s, e converta o resultado para km/h.
    b) Mostre que, a uma distância de 150 milhões de quilômetros do Sol (distância média da Terra ao Sol), a velocidade de escape é reduzida para aproximadamente 42 km / s.

Passo 1

O enunciado fornece a massa e o raio do Sol,
M=2,0times10^30,kg e R=7,0times10^8,m,
e pede que a partir da Lei Universal da Gravitação deduzamos a expressão da velocidade de escape e calculemos
a) na superfície do Sol e façamos a conversão para km/h;
b) no ponto a 1,5times10^11,m (distância média Terra–Sol).
O conteúdo envolve gravitação newtoniana e conservação de energia mecânica.

Passo 2

Para escapar da atração gravitacional, igualamos a energia cinética inicial à variação da energia potencial ao levar o objeto de r a infinito:
12,m,vesc^2 ;=; De<a U ;=; GMmr
Cancelando m e isolando vesc, obtemos
vesc =raiz2,G,Mr

Passo 3

Aplicando na superfície do Sol ( r=R) e usando G=6,67times10^-11,m^3/(kg,s^2),
vesc =raiz2times6,67times10^-11times2,0times10^307,0times10^8,m/s =raiz3,81times10^11,m/s approx6,17times10^5,m/s
Em unidades de km/s, isso dá
vescapprox617,km/sapprox620,km/s

Passo 4

Para converter 620,km/s em km/h, multiplicamos por 3,600:
620,kmstimes3,600,sh =2,23times10^6,kmh

Passo 5

Agora em r=1,5times10^11,m (150 milhões de km):
vesc =raiz2times6,67times10^-11times2,0times10^301,5times10^11 =raiz1,78times10^9,m/s approx4,22times10^4,m/s approx42,km/s

Resposta

a) vescapprox620,km/sapprox2,23times10^6,km/h
b) vescapprox42,km/s

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