Um barco com 1000 kg de massa se desloca na água com velocidade constante de 10 m/s. Ao desligar os motores, esse barco fica sujeito apenas (na direção horizontal) à força de arrasto exercida pela água, proporcional à velocidade e dada por F⃗ =−200v⃗ , com v⃗ em metros por segundo e F⃗ em Newtons. Quanto vale, em Joules, o trabalho exercido pela força de arrasto desde o momento do desligamento do motor até que o módulo da velocidade do barco seja de 2 m/s?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um barco de 1000 kg que está se movendo na água a uma velocidade constante de 10 m/s. Quando desligamos os motores, a única força que age na direção horizontal é a força de arrasto, que depende da velocidade do barco. Nosso objetivo é descobrir quanto trabalho essa força de arrasto faz até a velocidade do barco reduzir para 2 m/s. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força, trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (W) feito por uma força é calculado pela integral da força ao longo do deslocamento. No caso, a força de arrasto é dada por:
Aqui, $ v $ está em m/s e $ F $ em Newtons. O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Como a força depende da velocidade, precisamos relacionar essa força com o deslocamento do barco conforme a velocidade muda de 10 m/s para 2 m/s. Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Então, podemos expressar o trabalho como:
Substituindo $ dx = v,dt $:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a aceleração com a força. A segunda lei de Newton nos diz que:
Onde $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração. Substituindo a força de arrasto:
Isso nos dá uma equação diferencial para a velocidade:
A solução dessa equação é:
Onde $ v_0 $ é a velocidade inicial de 10 m/s.
Passo 5
Para encontrar o trabalho, podemos usar a relação com a energia cinética. A energia cinética (K) é dada por:
O trabalho feito pela força de arrasto é igual à mudança na energia cinética do barco. Vamos calcular a energia inicial e final:
- Energia inicial ($ K_i $):
- Energia final ($ K_f $):
Passo 6
A mudança na energia cinética é:
Esse valor negativo indica que a energia foi retirada do sistema pela força de arrasto.
Resposta
O trabalho exercido pela força de arrasto é de -48.000 Joules.