Um barco se aproxima da costa a 50 m / s. Um menino está no alto de uma falésia com 9,0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de 10 m / s. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de 30^circ acima da horizontal em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
Quanto tempo leva desde o lançamento da bola até que ela caia no barco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de projétil. A gente tem um barco se aproximando da costa a 50 m/s, e um menino no alto de uma falésia de 9,0 m lança uma bola com uma velocidade de 10 m/s, formando um ângulo de 30° acima da horizontal em direção ao barco. Queremos descobrir quanto tempo leva desde o lançamento da bola até ela atingir o barco. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as equações do movimento uniformemente variado, considerando separadamente as direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas direções horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes. A fórmula para decompor é:
vx = v cdot cos(theta)
vy = v cdot sin(theta)
Onde:
  • $ v = 10, \mathrm{m/s} $ é a velocidade inicial
  • $ \theta = 30^{\circ} $ é o ângulo de lançamento
Calculando:
v = 10, m/s
theta = 30^circ

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical da bola. A bola começa a 9,0 m acima do solo e será influenciada pela aceleração da gravidade, que é $ g = 9,8, \mathrm{m/s^2} $ para baixo. A posição vertical da bola em função do tempo é dada por:
g = 9,8, m/s^2
Onde:
  • $ y_0 = 9,0, \mathrm{m} $ é a altura inicial
  • $ v_{y} = 5, \mathrm{m/s} $ é a velocidade vertical inicial
Queremos achar o tempo $ t $ quando a bola atinge o nível do barco, que está no nível da água, ou seja, $ y(t) = 0 $:
y(t) = y0 + vy t - 12 g t^2

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar o tempo $ t $. A equação fica:
t
Usando a fórmula de Bhaskara:
4,9 t^2 - 5 t - 9,0 = 0
t = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 4,9 cdot (-9,0)2 cdot 4,9
t = 5 pm raiz25 + 176,49,8
t = 5 pm raiz201,49,8
Desconsideramos a solução negativa, então:
t = 5 pm 14,199,8

Passo 5

Agora que temos o tempo que a bola leva para cair, vamos verificar onde o barco estará nesse tempo. O barco está se movendo a 50 m/s em direção à costa. Supondo que no momento do lançamento, a distância entre a bola e o barco seja zero, a posição do barco em função do tempo é:
xbarco(t) = x0 - vbarco t
Como queremos que a bola alcance o barco, a posição horizontal da bola deve ser igual à do barco:
xbola(t) = vx t
vx t = x0 - vbarco t
Como assumimos $ x_0 = 0 $ no lançamento:
x0 = 0
vx t + vbarco t = 0
A única solução física é $ t = 0 $, que não faz sentido. Isso indica que, na realidade, o barco estava já se aproximando quando a bola foi lançada. Para simplificar, vamos considerar que a distância inicial entre a bola e o barco é:
t (vx + vbarco) = 0
Então, substituindo $ t \approx 1,96, \mathrm{s} $:
t = 0

Resposta

O tempo que a bola leva para cair no barco é de aproximadamente 1,96 segundos.

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