Uma sala tem as seguintes dimensões: 3 m times 4 m times 3 m. Um inseto voa desde um canto da sala até o outro canto diametralmente oposto. (a) Calcule o módulo do deslocamento total do inseto. (b) O deslocamento total depende da trajetória? © Faça um esquema usando um sistema cartesiano tri-ortogonal para indicar os componentes do vetor deslocamento total.

Passo 1

Beleza, aqui a questão é sobre deslocamento em 3D. A sala tem dimensão 3 m × 4 m × 3 m e o inseto vai de um canto ao canto diametralmente oposto. Isso cai em “vetores no espaço” e “Pitagoras em 3D”. Pra resolver a gente vai precisar:
  • Escolher um sistema de coordenadas para representar os cantos.
  • Montar o vetor deslocamento e usar a fórmula da magnitude de um vetor em 3D:
    .

Passo 2

Primeiro, coloca o canto de partida como a origem do nosso sistema tri-ortogonal:
Ponto inicial vec d = AB = B - A = lang<= 3,,4,,3rang<= .
O canto diametralmente oposto fica em , porque a sala mede 3 m no eixo , 4 m no eixo e 3 m no eixo .
Então o vetor deslocamento é

Passo 3

Agora a gente calcula o módulo desse vetor usando Pitágoras em 3D:
|vec d| = raiz3^2 + 4^2 + 3^2 = raiz9 + 16 + 9 = raiz34

Passo 4

(b) Deslocamento é sempre só a diferença entre posição final e inicial. Não importa o caminho que o inseto voou: só interessa onde ele começou e onde ele terminou.
Então não depende da trajetória, e sim apenas dos pontos inicial e final.

Passo 5

© Esquema do sistema cartesiano tri-ortogonal:
  • Eixo de 0 a 3 m (por exemplo, na horizontal para a direita).
  • Eixo de 0 a 4 m (para longe de você).
  • Eixo de 0 a 3 m (para cima).
    O vetor deslocamento aponta de até .
    Se você projetar, as “sombrazinhas” do vetor nos eixos são 3 m em , 4 m em e 3 m em .

Resposta

(a) m
(b) Não, deslocamento não depende da trajetória, só dos pontos inicial e final.
© Componentes do vetor deslocamento: .

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