Um barco atravessa um rio de largura L. Velocidade do barco: v_{b}, velocidade da correnteza: v_{c}. Determine:
(a) Tempo de travessia;
(b) Deslocamento rio abaixo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Largura do rio: L.
  • Velocidade do barco em relação à água: v_{b}.
  • Velocidade da correnteza (água em relação à margem): v_{c}.
O enunciado pede:
(a) o tempo que o barco leva para atravessar o rio;
(b) o deslocamento rio abaixo (isto é, quanto o barco é levado pela correnteza na direção paralela à margem) durante a travessia.

Passo 2

Antes de calcular, vamos descrever o quadro físico e as convenções que vou usar (isto é parte da explicação didática, para você poder fazer igual na prova).
  • Escolho um sistema de eixos: eixo y perpendicular às margens (direção da travessia, da margem A para a B) e eixo x paralelo às margens, no sentido da correnteza (para baixo no rio).
  • Entenda que velocidades relativas se somam: a velocidade do barco em relação ao solo (margem) é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água e da velocidade da água em relação ao solo. Em símbolos:
\vec{v}_{\text{BG}}=\vec{v}_{\text{BW}}+\vec{v}_{\text{WG}},
onde:
  • \vec{v}_{\text{BG}} = velocidade do barco em relação ao solo (ground),
  • \vec{v}_{\text{BW}} = velocidade do barco em relação à água (boat w.r.t. water),
  • \vec{v}_{\text{WG}} = velocidade da água em relação ao solo (water w.r.t. ground), que é a correnteza.
  • Assumo o caso padrão e mais simples pedido nesta questão: o barco aponta sua velocidade motorada diretamente para a margem oposta, ou seja, sua velocidade relativa à água é perpendicular à margem (sem componente no sentido x). Isso é a configuração mais comum para este problema e permite calcular tempo e derivação facilmente. Se o barco apontasse com outro ângulo, o procedimento seria semelhante mas com componentes trigonométricas — vou comentar isso depois como generalização.

Passo 3

Escrever as componentes das velocidades segundo a convenção escolhida.
  • Como o barco aponta diretamente atravessando, sua velocidade em relação à água tem apenas componente em y:
\vec{v}_{\text{BW}}=(0,\;v_{b}).
  • A correnteza dá uma velocidade apenas em x:
\vec{v}_{\text{WG}}=(v_{c},\;0).
  • Somando vetormente:
\vec{v}_{\text{BG}}=(v_{c},\;v_{b}).
Isso significa que, em relação ao solo, o barco vai se mover com velocidade constante v_{b} na direção y (atravessando) e com velocidade constante v_{c} na direção x (sendo levado rio abaixo). As componentes se comportam de forma independente: o movimento em y determina o tempo de travessia; o movimento em x determina quanto ele desloca rio abaixo enquanto cruza.

Passo 4

Calcular o tempo de travessia usando a componente perpendicular.
  • Distância a percorrer na direção y é a largura do rio L.
  • Velocidade na direção y (em relação ao solo) é v_{b}.
  • Tempo é distância dividido por velocidade (conceito básico do movimento uniforme):
t=\frac{L}{v_{b}}.
Explicação curta: como a componente y do movimento é uniforme e igual a v_{b}, o tempo necessário para percorrer L é L/v_{b}. Isso é independente da correnteza, porque a corrente só age na direção x.

Passo 5

Calcular o deslocamento rio abaixo (componente x).
  • Enquanto o barco leva tempo t para atravessar, ele é levado pela corrente com velocidade v_{c} na direção x.
  • Deslocamento na direção x em movimento uniforme é velocidade vezes tempo, então:
\Delta x = v_{c}\,t.
  • Substituindo t=\dfrac{L}{v_{b}}:
\Delta x = v_{c}\,\frac{L}{v_{b}}=\frac{v_{c}L}{v_{b}}.
Interpretação física: quanto mais forte a correnteza ( v_{c}) maior o arrasto; quanto mais rápido o barco em relação à água ( v_{b}) menor o arrasto final, porque ele atravessa mais rapidamente.

Passo 6

Pequena generalização (útil para prova): se o barco não apontar perpendicularmente, mas fizer um ângulo \theta em relação à perpendicular (por exemplo apontando um pouco contra a corrente para tentar minimizar o arrasto), então:
  • Componente perpendicular é v_{b}\cos\theta, então o tempo seria
t=\frac{L}{v_{b}\cos\theta}.
  • A componente paralela (horizontal) do movimento do barco relativo à água é v_{b}\sin\theta (sinal depende do sentido), e a velocidade resultante em x seria v_{x}=v_{c}\pm v_{b}\sin\theta. Para que o barco chegue exatamente em frente ao ponto de partida (sem deslocamento rio abaixo) é necessário anular v_{x}, o que exige apontar contra a corrente com \sin\theta=\dfrac{v_{c}}{v_{b}} (possível somente se v_{c}\le v_{b}). Nesse caso o tempo aumenta porque a componente perpendicular diminui.

Resposta

(a) t=\dfrac{L}{v_{b}}
(b) \Delta x=\dfrac{v_{c}L}{v_{b}}

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