Um barco atravessa um rio de largura
. Velocidade do barco:
, velocidade da correnteza:
. Determine:
(a) Tempo de travessia;
(b) Deslocamento rio abaixo.
(a) Tempo de travessia;
(b) Deslocamento rio abaixo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Largura do rio:
. - Velocidade do barco em relação à água:
. - Velocidade da correnteza (água em relação à margem):
.
O enunciado pede:
(a) o tempo que o barco leva para atravessar o rio;
(b) o deslocamento rio abaixo (isto é, quanto o barco é levado pela correnteza na direção paralela à margem) durante a travessia.
(a) o tempo que o barco leva para atravessar o rio;
(b) o deslocamento rio abaixo (isto é, quanto o barco é levado pela correnteza na direção paralela à margem) durante a travessia.
Passo 2
Antes de calcular, vamos descrever o quadro físico e as convenções que vou usar (isto é parte da explicação didática, para você poder fazer igual na prova).
- Escolho um sistema de eixos: eixo
perpendicular às margens (direção da travessia, da margem A para a B) e eixo paralelo às margens, no sentido da correnteza (para baixo no rio). - Entenda que velocidades relativas se somam: a velocidade do barco em relação ao solo (margem) é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água e da velocidade da água em relação ao solo. Em símbolos:
onde:
-
= velocidade do barco em relação ao solo (ground), -
= velocidade do barco em relação à água (boat w.r.t. water), -
= velocidade da água em relação ao solo (water w.r.t. ground), que é a correnteza. -
Assumo o caso padrão e mais simples pedido nesta questão: o barco aponta sua velocidade motorada diretamente para a margem oposta, ou seja, sua velocidade relativa à água é perpendicular à margem (sem componente no sentido
). Isso é a configuração mais comum para este problema e permite calcular tempo e derivação facilmente. Se o barco apontasse com outro ângulo, o procedimento seria semelhante mas com componentes trigonométricas — vou comentar isso depois como generalização.
Passo 3
Escrever as componentes das velocidades segundo a convenção escolhida.
- Como o barco aponta diretamente atravessando, sua velocidade em relação à água tem apenas componente em
:
- A correnteza dá uma velocidade apenas em
:
- Somando vetormente:
Isso significa que, em relação ao solo, o barco vai se mover com velocidade constante
na direção
(atravessando) e com velocidade constante
na direção
(sendo levado rio abaixo). As componentes se comportam de forma independente: o movimento em
determina o tempo de travessia; o movimento em
determina quanto ele desloca rio abaixo enquanto cruza.
Passo 4
Calcular o tempo de travessia usando a componente perpendicular.
- Distância a percorrer na direção
é a largura do rio . - Velocidade na direção
(em relação ao solo) é . - Tempo é distância dividido por velocidade (conceito básico do movimento uniforme):
Explicação curta: como a componente
do movimento é uniforme e igual a
, o tempo necessário para percorrer
é
. Isso é independente da correnteza, porque a corrente só age na direção
.
Passo 5
Calcular o deslocamento rio abaixo (componente
).
- Enquanto o barco leva tempo
para atravessar, ele é levado pela corrente com velocidade na direção . - Deslocamento na direção
em movimento uniforme é velocidade vezes tempo, então:
- Substituindo
:
Interpretação física: quanto mais forte a correnteza (
) maior o arrasto; quanto mais rápido o barco em relação à água (
) menor o arrasto final, porque ele atravessa mais rapidamente.
Passo 6
Pequena generalização (útil para prova): se o barco não apontar perpendicularmente, mas fizer um ângulo
em relação à perpendicular (por exemplo apontando um pouco contra a corrente para tentar minimizar o arrasto), então:
- Componente perpendicular é
, então o tempo seria
- A componente paralela (horizontal) do movimento do barco relativo à água é
(sinal depende do sentido), e a velocidade resultante em seria . Para que o barco chegue exatamente em frente ao ponto de partida (sem deslocamento rio abaixo) é necessário anular , o que exige apontar contra a corrente com (possível somente se ). Nesse caso o tempo aumenta porque a componente perpendicular diminui.
Resposta
(a)
(b)
(b)