Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função:
f(x, y, z)=4 x+4 y+\sqrt{31} z,
onde (x, y, z) estão sujeitos ao vínculo x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Função objetivo: f(x,y,z)=4x+4y+\sqrt{31}\,z.
  • Restrição (vínculo): x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
  • Pedido: determinar os pontos críticos de f sujeitos a essa restrição.
Informações relevantes dadas:
  • A restrição é uma superfície de equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
  • Procura-se os pontos (x,y,z) que fazem com que f tenha derivadas anuladas sob o vínculo (isto é, pontos críticos com restrição).

Passo 2

Vamos usar o método pedido (multiplicadores de Lagrange). Primeiro definimos a função restrição g e o lagrangiano L.
  • Definição da função restrição:
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-1.
A equação do vínculo é g(x,y,z)=0.
  • Definição do lagrangiano: introduz-se um multiplicador \lambda\in\mathbb{R} e define-se
L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z).
Aqui \lambda é a variável auxiliar (o multiplicador de Lagrange) que força a condição do vínculo.
Explicação do método em palavras simples: os pontos críticos sujeitos ao vínculo satisfazem as equações
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z)
juntamente com g(x,y,z)=0. Isso gera um sistema de equações algébricas para x,y,z,\lambda.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais do lagrangiano e escrever as equações do sistema.
Escrevendo o lagrangiano explicitamente:
L(x,y,z,\lambda)=4x+4y+\sqrt{31}\,z-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-z^{2}-1\bigr).
Derivadas parciais e equações de estacionariedade:
  • Derivada parcial em x:
\frac{\partial L}{\partial x}=4-2\lambda x=0.
Isto dá a equação
4-2\lambda x=0.
  • Derivada parcial em y:
\frac{\partial L}{\partial y}=4-2\lambda y=0.
Isto dá a equação
4-2\lambda y=0.
  • Derivada parcial em z:
\frac{\partial L}{\partial z}=\sqrt{31}+2\lambda z=0.
Isto dá a equação
\sqrt{31}+2\lambda z=0.
  • Derivada parcial em \lambda (a condição do vínculo):
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-z^{2}-1)=0,
ou seja
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.

Passo 4

Resolver o sistema obtido a partir das três primeiras equações para expressar x,y,z em função de \lambda.
Das duas primeiras equações:
4-2\lambda x=0 \quad\Rightarrow\quad 2\lambda x=4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{\lambda}.
4-2\lambda y=0 \quad\Rightarrow\quad 2\lambda y=4 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{\lambda}.
Portanto obtemos
x=y=\frac{2}{\lambda}.
Da equação em z:
\sqrt{31}+2\lambda z=0 \quad\Rightarrow\quad 2\lambda z=-\sqrt{31} \quad\Rightarrow\quad z=-\frac{\sqrt{31}}{2\lambda}.
Agora temos x,y,z expressos em termos de \lambda.

Passo 5

Substituir essas expressões na condição do vínculo x^{2}+y^{2}-z^{2}=1 para encontrar \lambda.
Substituindo x=y=\dfrac{2}{\lambda} e z=-\dfrac{\sqrt{31}}{2\lambda} em x^{2}+y^{2}-z^{2}=1:
\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{2}-\left(-\frac{\sqrt{31}}{2\lambda}\right)^{2}=1.
Calcule passo a passo:
\frac{4}{\lambda^{2}}+\frac{4}{\lambda^{2}}-\frac{31}{4\lambda^{2}}=1.
Somando os dois primeiros termos:
\frac{8}{\lambda^{2}}-\frac{31}{4\lambda^{2}}=1.
Colocando sobre denominador comum 4\lambda^{2}:
\frac{32-31}{4\lambda^{2}}=1.
Isto simplifica para
\frac{1}{4\lambda^{2}}=1.
Logo
4\lambda^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\frac{1}{2}.

Passo 6

Determinar os pontos (x,y,z) correspondentes a cada valor de \lambda.
Caso \lambda=\dfrac{1}{2}:
x=y=\frac{2}{\lambda}=\frac{2}{1/2}=4, \qquad z=-\frac{\sqrt{31}}{2\lambda}=-\frac{\sqrt{31}}{2\cdot(1/2)}=-\sqrt{31}.
Ponto: \bigl(4,4,-\sqrt{31}\bigr).
Caso \lambda=-\dfrac{1}{2}:
x=y=\frac{2}{\lambda}=\frac{2}{-1/2}=-4, \qquad z=-\frac{\sqrt{31}}{2\lambda}=-\frac{\sqrt{31}}{2\cdot(-1/2)}=+\sqrt{31}.
Ponto: \bigl(-4,-4,\sqrt{31}\bigr).
Verificação rápida (opcional mas reconfortante): checando a restrição
4^{2}+4^{2}-\bigl(-\sqrt{31}\bigr)^{2}=16+16-31=1,
(-4)^{2}+(-4)^{2}-\bigl(\sqrt{31}\bigr)^{2}=16+16-31=1,
ambos satisfazem o vínculo, então estão corretos.

Passo 7

Classificação rápida dos pontos críticos (um bônus para entender o que significam):
  • Calcular f em cada ponto:
f(4,4,-\sqrt{31})=4\cdot4+4\cdot4+\sqrt{31}\,(-\sqrt{31})=16+16-31=1.
f(-4,-4,\sqrt{31})=4(-4)+4(-4)+\sqrt{31}\,\sqrt{31}=-16-16+31=-1.
Assim, sobre a superfície x^{2}+y^{2}-z^{2}=1, o ponto \bigl(4,4,-\sqrt{31}\bigr) fornece um valor maior de f (máximo relativo/global sujeito ao vínculo) e \bigl(-4,-4,\sqrt{31}\bigr) fornece o valor menor (mínimo relativo/global sujeito ao vínculo).

Resposta

\bigl(4,4,-\sqrt{31}\bigr)
\bigl(-4,-4,\sqrt{31}\bigr)

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