Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função:
onde
estão sujeitos ao vínculo
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Função objetivo:
. - Restrição (vínculo):
. - Pedido: determinar os pontos críticos de
sujeitos a essa restrição.
Informações relevantes dadas:
- A restrição é uma superfície de equação
. - Procura-se os pontos
que fazem com que tenha derivadas anuladas sob o vínculo (isto é, pontos críticos com restrição).
Passo 2
Vamos usar o método pedido (multiplicadores de Lagrange). Primeiro definimos a função restrição
e o lagrangiano
.
- Definição da função restrição:
A equação do vínculo é
.
- Definição do lagrangiano: introduz-se um multiplicador
e define-se
Aqui
é a variável auxiliar (o multiplicador de Lagrange) que força a condição do vínculo.
Explicação do método em palavras simples: os pontos críticos sujeitos ao vínculo satisfazem as equações
juntamente com
. Isso gera um sistema de equações algébricas para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais do lagrangiano e escrever as equações do sistema.
Escrevendo o lagrangiano explicitamente:
Derivadas parciais e equações de estacionariedade:
- Derivada parcial em
:
Isto dá a equação
- Derivada parcial em
:
Isto dá a equação
- Derivada parcial em
:
Isto dá a equação
- Derivada parcial em
(a condição do vínculo):
ou seja
Passo 4
Resolver o sistema obtido a partir das três primeiras equações para expressar
em função de
.
Das duas primeiras equações:
Portanto obtemos
Da equação em
:
Agora temos
expressos em termos de
.
Passo 5
Substituir essas expressões na condição do vínculo
para encontrar
.
Substituindo
e
em
:
Calcule passo a passo:
Somando os dois primeiros termos:
Colocando sobre denominador comum
:
Isto simplifica para
Logo
Passo 6
Determinar os pontos
correspondentes a cada valor de
.
Caso
:
Ponto:
.
Caso
:
Ponto:
.
Verificação rápida (opcional mas reconfortante): checando a restrição
ambos satisfazem o vínculo, então estão corretos.
Passo 7
Classificação rápida dos pontos críticos (um bônus para entender o que significam):
- Calcular
em cada ponto:
Assim, sobre a superfície
, o ponto
fornece um valor maior de
(máximo relativo/global sujeito ao vínculo) e
fornece o valor menor (mínimo relativo/global sujeito ao vínculo).