Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função:
f(x, y)=4 x+4 y^{2},
onde ( x, y ) estão sujeitos ao vínculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função objetivo é f(x,y)=4x+4y^{2}.
  • O vínculo (restrição) é x^{2}+y^{2}=1, ou seja, os pontos (x,y) estão sobre o círculo unitário.
    O que se pede:
  • Determinar os pontos críticos de f sujeitos ao vínculo x^{2}+y^{2}=1 usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
    (Em outras palavras: encontrar todos os pontos do círculo onde f pode atingir extremos ou outros pontos críticos sob essa restrição.)

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e simples):
  • Quando procuramos extremos de f restritos a uma curva g(x,y)=0, nos interessa onde a direção de maior variação de f (o gradiente de f) é paralela à direção de maior variação de g (o gradiente de g). Isso ocorre porque, ao mover-se ao longo da curva g=0, a variação de f não tem componente na direção normal à curva.
  • Formalmente, definimos a função do vínculo como g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1. O método impõe
\boldsymbol{\nabla} f(x,y)=\lambda\,\boldsymbol{\nabla} g(x,y)
junto com a condição g(x,y)=0. Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a proporcionalidade entre os gradientes).
  • Explicando o que é gradiente: para uma função h(x,y), o gradiente \boldsymbol{\nabla}h é o vetor das derivadas parciais: \boldsymbol{\nabla}h=(h_x,h_y), onde h_x=\dfrac{\partial h}{\partial x} e h_y=\dfrac{\partial h}{\partial y}. Ele indica a direção de maior aumento de h.

Passo 3

Calcular os gradientes e escrever o sistema:
  • Definimos g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
  • Calculamos as derivadas parciais:
f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}=4,\qquad f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}=8y.
g_x=\dfrac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad g_y=\dfrac{\partial g}{\partial y}=2y.
  • A condição \boldsymbol{\nabla} f=\lambda \boldsymbol{\nabla} g dá o sistema:
4=\lambda\cdot 2x,
8y=\lambda\cdot 2y,
junto com a restrição
x^{2}+y^{2}=1.

Passo 4

Simplificar as equações do sistema:
  • A primeira equação pode ser escrita como
2=\lambda x.
  • A segunda equação simplifica para
4y=\lambda y.
  • Agora resolvemos o sistema analisando os casos que essa última equação sugere: como 4y=\lambda y, ou y=0 ou \lambda=4. Vamos tratar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: y=0.
  • Com y=0, a restrição x^{2}+y^{2}=1 vira x^{2}=1, então
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
  • Verificamos a primeira equação 2=\lambda x para cada x:
    • Se x=1 então \lambda=2.
    • Se x=-1 então \lambda=-2.
  • Calculamos os valores de f nesses pontos:
    • f(1,0)=4\cdot 1+4\cdot 0^{2}=4.
    • f(-1,0)=4\cdot(-1)+4\cdot 0^{2}=-4.
  • Portanto, do caso y=0 surgem os pontos críticos (1,0) com f=4 e (-1,0) com f=-4.

Passo 6

Caso 2: \lambda=4.
  • Substituindo \lambda=4 na primeira equação 2=\lambda x obtemos
2=4x \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
  • Usando a restrição x^{2}+y^{2}=1 com x=\tfrac{1}{2}:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{4}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\tfrac{3}{4}.
  • Assim
y=\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Calculamos f nesses pontos:
f\!\left(\tfrac{1}{2},\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=4\cdot\tfrac{1}{2}+4\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)=2+3=5.
  • Portanto, do caso \lambda=4 surgem os pontos críticos \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right), ambos com f=5.

Passo 7

Classificação e conclusão (interpretação intuitiva):
  • Temos os valores de f nos pontos críticos encontrados:
    • f\!\left(\tfrac{1}{2},\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=5.
    • f(1,0)=4.
    • f(-1,0)=-4.
  • Como a função f é contínua e a restrição é um conjunto compacto (o círculo), f atinge máximo e mínimo globais entre esses pontos críticos. Comparando os valores: o maior é 5 e o menor é -4.
  • Conclusões:
    • Os pontos \left(\tfrac{1}{2},\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) são pontos de máximo global com valor f=5.
    • O ponto (-1,0) é o ponto de mínimo global com valor f=-4.
    • O ponto (1,0) é um ponto crítico cuja imagem é 4, que não é máximo nem mínimo global (nem o menor nem o maior dentre os críticos); portanto não é extremo global — é um ponto crítico sem ser extremo global no círculo.

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\\ (1,0),\\ (-1,0)

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