Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função:
onde (
) estão sujeitos ao vínculo
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função objetivo é
. - O vínculo (restrição) é
, ou seja, os pontos estão sobre o círculo unitário.
O que se pede: - Determinar os pontos críticos de
sujeitos ao vínculo usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
(Em outras palavras: encontrar todos os pontos do círculo ondepode atingir extremos ou outros pontos críticos sob essa restrição.)
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e simples):
- Quando procuramos extremos de
restritos a uma curva , nos interessa onde a direção de maior variação de (o gradiente de ) é paralela à direção de maior variação de (o gradiente de ). Isso ocorre porque, ao mover-se ao longo da curva , a variação de não tem componente na direção normal à curva. - Formalmente, definimos a função do vínculo como
. O método impõe
junto com a condição
. Aqui
é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a proporcionalidade entre os gradientes).
- Explicando o que é gradiente: para uma função
, o gradiente é o vetor das derivadas parciais: , onde e . Ele indica a direção de maior aumento de .
Passo 3
Calcular os gradientes e escrever o sistema:
- Definimos
. - Calculamos as derivadas parciais:
- A condição
dá o sistema:
junto com a restrição
Passo 4
Simplificar as equações do sistema:
- A primeira equação pode ser escrita como
- A segunda equação simplifica para
- Agora resolvemos o sistema analisando os casos que essa última equação sugere: como
, ou ou . Vamos tratar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
.
- Com
, a restrição vira , então
- Verificamos a primeira equação
para cada : - Se
então . - Se
então .
- Se
- Calculamos os valores de
nesses pontos: -
. -
.
-
- Portanto, do caso
surgem os pontos críticos com e com .
Passo 6
Caso 2:
.
- Substituindo
na primeira equação obtemos
- Usando a restrição
com :
- Assim
- Calculamos
nesses pontos:
- Portanto, do caso
surgem os pontos críticos e , ambos com .
Passo 7
Classificação e conclusão (interpretação intuitiva):
- Temos os valores de
nos pontos críticos encontrados: -
. -
. -
.
-
- Como a função
é contínua e a restrição é um conjunto compacto (o círculo), atinge máximo e mínimo globais entre esses pontos críticos. Comparando os valores: o maior é e o menor é . - Conclusões:
- Os pontos
são pontos de máximo global com valor . - O ponto
é o ponto de mínimo global com valor . - O ponto
é um ponto crítico cuja imagem é , que não é máximo nem mínimo global (nem o menor nem o maior dentre os críticos); portanto não é extremo global — é um ponto crítico sem ser extremo global no círculo.
- Os pontos