O vetor posição de uma partícula é
. Determine:
(a) Vetor velocidade;
(b) Vetor aceleração;
(c) Equação da trajetória.
Resposta:
;
(b)
;
(a) Vetor velocidade;
(b) Vetor aceleração;
(c) Equação da trajetória.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição da partícula e pede três coisas. Dados fornecidos:
O que é pedido:
(a) o vetor velocidade ;
(b) o vetor aceleração ;
(c) a equação da trajetória (a curva geométrica que a partícula descreve no plano).
(a) o vetor velocidade
(b) o vetor aceleração
(c) a equação da trajetória (a curva geométrica que a partícula descreve no plano).
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Um vetor posição em componentes cartesianas é
. A velocidade é a derivada temporal do vetor posição:
Isto significa que para diferenciar um vetor basta diferenciar cada componente escalar separadamente.
- A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
- Regras de derivação de trigonometria (cadeia simples):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aqui o “” é porque usamos a regra da cadeia: se dentro do seno ou cosseno há uma função , multiplicamos pela derivada de .
- A derivada de
- No nosso caso
, então . Assim:
Passo 3
Cálculo do vetor velocidade passo a passo, aplicando as regras acima às componentes de
.
Componente
. Derivando:
Componente
. Derivando:
Juntando as componentes em forma vetorial:
Passo 4
Cálculo do vetor aceleração derivando
componente a componente.
Derivada da componente
:
Derivada da componente
:
Assim o vetor aceleração é
Passo 5
Determinar a equação da trajetória (eliminar o parâmetro
para obter a curva no plano).
Defina as coordenadas:
Isolando os trigonométricos:
Elevando ao quadrado e somando as duas expressões:
Como
para todo
, obtemos a equação da curva:
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
.
Observação didática rápida: o procedimento de “isolar”
e
e usar a identidade pitagórica é um truque padrão para eliminar o parâmetro trigonométrico e obter a equação cartesiana da trajetória.
Resposta
(a)
(b)
(c)