O vetor posição de uma partícula é \vec{r}(t)=(A \cos \omega t) \hat{i}+(B \sin \omega t) \hat{j}. Determine:
(a) Vetor velocidade;
(b) Vetor aceleração;
(c) Equação da trajetória.
Resposta: (\mathrm{a}) \vec{v}(t)=(-A \omega \sin \omega t) \hat{i}+(B \omega \cos \omega t) \hat{j};
(b) \vec{a}(t)=\left(-A \omega^{2} \cos \omega t\right) \hat{i}+\left(-B \omega^{2} \sin \omega t\right) \hat{j};

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição da partícula e pede três coisas. Dados fornecidos:
\vec{r}(t) = \bigl(A\cos\omega t\bigr)\,\hat{i} + \bigl(B\sin\omega t\bigr)\,\hat{j}.
O que é pedido:
(a) o vetor velocidade \vec{v}(t);
(b) o vetor aceleração \vec{a}(t);
(c) a equação da trajetória (a curva geométrica que a partícula descreve no plano).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Um vetor posição em componentes cartesianas é \vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}. A velocidade é a derivada temporal do vetor posição:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\hat{i}+\frac{dy}{dt}\,\hat{j}.
Isto significa que para diferenciar um vetor basta diferenciar cada componente escalar separadamente.
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\,\hat{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\,\hat{j}.
  • Regras de derivação de trigonometria (cadeia simples):
    • A derivada de \cos u(t) é \dfrac{d}{dt}\cos u(t) = -\sin u(t)\cdot \dfrac{du}{dt}.
    • A derivada de \sin u(t) é \dfrac{d}{dt}\sin u(t) = \cos u(t)\cdot \dfrac{du}{dt}.
      Aqui o “ \dfrac{du}{dt}” é porque usamos a regra da cadeia: se dentro do seno ou cosseno há uma função u(t), multiplicamos pela derivada de u.
  • No nosso caso u(t)=\omega t, então \dfrac{du}{dt}=\omega. Assim: \frac{d}{dt}\cos(\omega t) = -\omega\sin(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t).

Passo 3

Cálculo do vetor velocidade passo a passo, aplicando as regras acima às componentes de \vec{r}(t).
Componente x(t)=A\cos\omega t. Derivando:
\frac{dx}{dt} = A\cdot\frac{d}{dt}\cos(\omega t) = A\cdot\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr) = -A\omega\sin(\omega t).
Componente y(t)=B\sin\omega t. Derivando:
\frac{dy}{dt} = B\cdot\frac{d}{dt}\sin(\omega t) = B\cdot\bigl(\omega\cos(\omega t)\bigr) = B\omega\cos(\omega t).
Juntando as componentes em forma vetorial:
\vec{v}(t) = \bigl(-A\omega\sin(\omega t)\bigr)\,\hat{i} + \bigl(B\omega\cos(\omega t)\bigr)\,\hat{j}.

Passo 4

Cálculo do vetor aceleração derivando \vec{v}(t) componente a componente.
Derivada da componente v_x(t)=-A\omega\sin(\omega t):
\frac{d v_x}{dt} = -A\omega\cdot\frac{d}{dt}\sin(\omega t) = -A\omega\cdot\bigl(\omega\cos(\omega t)\bigr) = -A\omega^{2}\cos(\omega t).
Derivada da componente v_y(t)=B\omega\cos(\omega t):
\frac{d v_y}{dt} = B\omega\cdot\frac{d}{dt}\cos(\omega t) = B\omega\cdot\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr) = -B\omega^{2}\sin(\omega t).
Assim o vetor aceleração é
\vec{a}(t) = \bigl(-A\omega^{2}\cos(\omega t)\bigr)\,\hat{i} + \bigl(-B\omega^{2}\sin(\omega t)\bigr)\,\hat{j}.

Passo 5

Determinar a equação da trajetória (eliminar o parâmetro t para obter a curva no plano).
Defina as coordenadas:
x(t)=A\cos(\omega t),\qquad y(t)=B\sin(\omega t).
Isolando os trigonométricos:
\cos(\omega t)=\frac{x}{A},\qquad \sin(\omega t)=\frac{y}{B}.
Elevando ao quadrado e somando as duas expressões:
\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t)=\left(\frac{x}{A}\right)^{2}+\left(\frac{y}{B}\right)^{2}.
Como \cos^{2}u+\sin^{2}u=1 para todo u, obtemos a equação da curva:
\left(\frac{x}{A}\right)^{2}+\left(\frac{y}{B}\right)^{2}=1.
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal A e semi-eixo vertical B.
Observação didática rápida: o procedimento de “isolar” \cos e \sin e usar a identidade pitagórica é um truque padrão para eliminar o parâmetro trigonométrico e obter a equação cartesiana da trajetória.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=\bigl(-A\omega\sin(\omega t)\bigr)\,\hat{i}+\bigl(B\omega\cos(\omega t)\bigr)\,\hat{j}
(b) \vec{a}(t)=\bigl(-A\omega^{2}\cos(\omega t)\bigr)\,\hat{i}+\bigl(-B\omega^{2}\sin(\omega t)\bigr)\,\hat{j}
(c) \displaystyle \left(\frac{x}{A}\right)^{2}+\left(\frac{y}{B}\right)^{2}=1

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