A integral, com limite inferior fixo e limite superior
variável, define uma função de
:
Mostre que
. Assim, a integração pode ser considerada como operação inversa da derivação. Use a interpretação geométrica da integral.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
usando a interpretação geométrica da integral. Aqui a ideia é ver
como a área sob o gráfico de
de
até
, e estudar como essa área varia quando
aumenta de um pequeno incremento
.
Passo 2
Considere um incremento
. Então
Geomtricamente, isso é a área do “tira” sob
entre
e
.
Passo 3
Se
for contínua em torno de
, então em
existem
Logo a área sob
nesse intervalo satisfaz
Dividindo tudo por
, obtemos
Passo 4
Como
, a continuidade de
implica
e
. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem),
Isso mostra exatamente que
ou seja, integrar de
até
e depois derivar devolve a própria função
.