A integral, com limite inferior fixo e limite superior x variável, define uma função de x :
F(x)=\int_{a}^{x} f\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}
Mostre que \frac{d F}{d x}=f(x). Assim, a integração pode ser considerada como operação inversa da derivação. Use a interpretação geométrica da integral.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{a}^{x}f(x')\,dx'
e pede para mostrar que
\frac{dF}{dx}=f(x),
usando a interpretação geométrica da integral. Aqui a ideia é ver F(x) como a área sob o gráfico de f de x'=a até x'=x, e estudar como essa área varia quando x aumenta de um pequeno incremento \Delta x.

Passo 2

Considere um incremento \Delta x. Então
F(x+\Delta x)-F(x) =\int_{a}^{\,x+\Delta x}f(x')\,dx' -\int_{a}^{\,x}f(x')\,dx' =\int_{x}^{\,x+\Delta x}f(x')\,dx'.
Geomtricamente, isso é a área do “tira” sob f entre x e x+\Delta x.

Passo 3

Se f for contínua em torno de x, então em [x,x+\Delta x] existem
m=\min_{x'\in[x,x+\Delta x]}f(x') \quad\text{e}\quad M=\max_{x'\in[x,x+\Delta x]}f(x').
Logo a área sob f nesse intervalo satisfaz
m\,\Delta x \;\le\; \int_{x}^{\,x+\Delta x}f(x')\,dx' \;\le\; M\,\Delta x.
Dividindo tudo por \Delta x, obtemos
m \;\le\; \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} \;\le\; M.

Passo 4

Como \Delta x\to0, a continuidade de f implica m\to f(x) e M\to f(x). Pelo teorema do confronto (squeeze theorem),
\lim_{\Delta x\to0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} = f(x).
Isso mostra exatamente que
\frac{dF}{dx}=f(x),
ou seja, integrar de a até x e depois derivar devolve a própria função f(x).

Resposta

\displaystyle \frac{dF}{dx}=f(x).

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