Um barco homogêneo de comprimento L e massa M está parado em um lago. Sobre o barco, sentado em um de seus extremos, se encontra um homem de massa m. O homem se levanta, caminha em direção ao extremo oposto do barco e senta neste outro extremo. A massa do barco é dez vezes maior que a massa do homem (M=10 m). Indicando todas as distâncias em função de L, responde:
Qual o deslocamento sofrido pelo barco em relação à margem do lago enquanto o homem se deslocou entre os dois extremos do barco?

Passo 1

Resumo: Temos um barco homogêneo de comprimento e massa parado num lago, com um homem de massa sentado em uma das extremidades. Ele caminha até a outra extremidade e senta lá.
Conteúdo: Mecânica – conservação do centro de massa (não há força externa horizontal).
O que vamos precisar:
  • Definir posições iniciais e finais do centro do barco e do homem.
  • Calcular o centro de massa inicial e final do sistema homem+barco.
  • Usar conservação do centro de massa para achar o deslocamento do barco.

Passo 2

Definindo variáveis:
  • Seja xh,i = xb - L2 a posição do centro do barco em relação à margem (antes do homem caminhar).
  • O homem está inicialmente na extremidade “esquerda” do barco, cuja posição é
XCM,i = M,xb ;+; m,(xb - tfracL2)M + m
Centro de massa inicial:

Passo 3

Depois que o homem anda até a outra ponta, o barco desloca-se uma distância xh,f = (xb + d) + L2 (para a esquerda, digamos).
  • O centro do barco passa a estar em XCM,f = M,(xb + d) ;+; m,l(xb + d + tfracL2r)M + m .
  • O homem passa a estar na extremidade “direita”:
Centro de massa final:

Passo 4

Como não há força horizontal externa, o centro de massa não se move:
XCM,i = XCM,f
Substituindo:
[
\frac{M,x_b + m,(x_b - \tfrac{L}{2})}{M+m}

\frac{M,(x_b + d) + m,(x_b + d + \tfrac{L}{2})}{M+m}.
]
Multiplicando ambos os lados por M,xb + m,(xb - tfracL2)M+m = M,(xb + d) + m,(xb + d + tfracL2)M+m e simplificando -,m,L2 ;=; M,d ;+; m,d ;+; m,L2 Longrightarrow (M+m),d = -,m,L :

Passo 5

Como d = -,m,L11,m = -,L11 , temos . Logo
O sinal negativo indica que o barco se desloca no sentido oposto ao do homem.

Resposta

O barco desloca-se em relação à margem do lago, no sentido contrário ao movimento do homem.

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