Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=t-ln t, y=t+ln t

Passo 1

O exercício pede para encontrar dydx e d^2ydx^2 de uma curva dada por funções paramétricas. O conteúdo é derivada paramétrica, e vamos precisar das fórmulas dydx=dy/dtdx/dt e d^2ydx^2=ddt(dy/dx)/dxdt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Temos
x(t)=t-ln t, y(t)=t+ln t
Logo,
dxdt=1-1t, dydt=1+1t

Passo 3

Em seguida, usamos dydx=dy/dtdx/dt. Assim,
dydx=1+1t1-1t=t+1t-1

Passo 4

Agora, para a segunda derivada, aplicamos
d^2ydx^2=ddtl(t+1t-1r)dxdt
Calculando a derivada de t+1t-1,
ddtl(t+1t-1r)=(t-1)-(t+1)(t-1)^2=-2(t-1)^2
Portanto,
d^2ydx^2=-2(t-1)^21-1t=-2t(t-1)^3

Passo 5

Para determinar quando a curva é côncava para cima, exigimos d^2ydx^2>0. Como -2t é negativo para t>0 e o domínio é t>0 (por causa de ln t), precisamos de (t-1)^3<0, ou seja, t<1.

Resposta

dydx=t+1t-1, d^2ydx^2=-2t(t-1)^3 A curva é côncava para cima quando 0.

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