Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
x d yd x-2 x e^x-y+6 x^2=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma diferencial dada por xdydx-2x e^x-y+6x^2=0 é exata. O conteúdo envolvido é teste de exatidão de formas diferenciais, e vamos precisar reescrever em M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e comparar partial M/partial y com partial N/partial x.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx, obtemos
x,dy -l(2x e^x+y-6x^2r),dx=0
Dessa forma identificamos
M(x,y)=-2x e^x-y+6x^2,
N(x,y)=x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-1,
partial Npartial x=1

Passo 4

Como partial M/partial y = -1 é diferente de partial N/partial x = 1, a forma diferencial não é exata.

Resposta

A forma diferencial não é exata, pois partial M/partial y=-1 difere de partial N/partial x=1.

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