Use séries para aproximar a integral definida com precisão de 4 casas decimais:
integral0^2 / 5 raiz1+x^4 dx
R: 0,4010

Passo 1

O enunciado pede aproximar
integral0^2/5raiz1+x^4,dx
com precisão de quatro casas decimais usando séries.
O conteúdo necessário é a expansão binomial de raiz1+t e a integração termo a termo, controlando o erro pelo tamanho do próximo termo da série.

Passo 2

Usamos a série de Newton para expoente 1/2:
(1+t)^1/2 = sumk=0^inftybinom1/2k,t^k,
onde
binom1/2k = (1/2)(1/2-1)cdots(1/2-k+1)k!
Substituindo t=x^4, obtemos
raiz1+x^4 = sumk=0^inftybinom1/2k,x^4k = 1 + tfrac12x^4 - tfrac18x^8 + tfrac116x^12 - cdots

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a a=2/5:
integral0^ax^4k,dx = a^4k+14k+1
Logo cada termo da série dá
integral0^abinom1/2kx^4k,dx = binom1/2k,a^4k+14k+1

Passo 4

Calculamos numericamente os termos até que o próximo seja menor que 5times10^-5:
a = 25 = 0,4
Para k=0:
T0 = a^11 = 0,4
Para k=1:
T1 = 12cdota^55 = 0,4^510 = 0,001024
Para k=2:
T2 = -18cdota^99 approx -0,000003641
Para k=3:
T3 approx 3,2times10^-8,
já bem abaixo de 5times10^-5, então paramos em k=2.

Passo 5

Somando os três primeiros termos:
T0 + T1 + T2 approx 0,4 + 0,001024 - 0,000003641 = 0,401020
Arredondando para quatro casas decimais, fica
0,4010

Resposta

0,4010

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