Um barco quer atravessar um rio de largura \boldsymbol{L}. O barco se move com velocidade de módulo v_{b} em relação a água. A correnteza do rio tem velocidade de modulo v_{r}, horizontal (da esquerda para direita). Considere o barco apontado perpendicularmente as margens (ou seja, na direção de atravessar).
a) Escreva as componentes da velocidade do barco em relação ao solo: componentes na direção de atravessar o rio; componente na direção da correnteza;
b) Sabendo que a componente de velocidade na direção de atravessar vale v_{b}, escreva o tempo para cruzar o rio de largura L.

Passo 1

O enunciado dá um barco que quer atravessar um rio de largura \;L\;. O barco tem velocidade de módulo \;v_{b}\; em relação à água e está apontado perpendicularmente às margens (ou seja, sua velocidade relativa à água é só na direção de atravessar). A correnteza do rio tem velocidade de módulo \;v_{r}\;, horizontal, da esquerda para a direita.
O que o enunciado pede:
  • (a) Escrever as componentes da velocidade do barco em relação ao solo: a componente na direção de atravessar o rio e a componente na direção da correnteza.
  • (b) Sabendo que a componente de velocidade na direção de atravessar vale \;v_{b}\;, escrever o tempo para cruzar o rio de largura \;L\;.

Passo 2

Vamos representar direções e vetores de forma simples e clara. Escolho um sistema de coordenadas:
  • eixo x: direção horizontal, igual à direção da correnteza (da esquerda para a direita).
  • eixo y: direção perpendicular às margens, ou seja, direção de atravessar o rio (de uma margem à outra).
Agora escrevo os vetores dados:
  • Velocidade da correnteza (água em relação ao solo) é só horizontal, então
\vec v_{r} = v_{r}\,\hat\imath + 0\,\hat\jmath.
Aqui \hat\imath é o vetor unitário em x e \hat\jmath é o vetor unitário em y. Explico: \;v_{r}\; aparece na componente x porque a corrente vai horizontalmente; a componente y é zero porque a corrente não empurra no sentido de atravessar.
  • Velocidade do barco em relação à água (o barco apontado perpendicularmente) é só na direção y, então
\vec v_{b|a} = 0\,\hat\imath + v_{b}\,\hat\jmath.
Isto significa que, relativo à água, o barco não tem componente na direção x (ele não está “apontado” para a frente/atrás da corrente), só tem velocidade para atravessar com módulo \;v_{b}\;.

Passo 3

A velocidade do barco em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água com a velocidade da água em relação ao solo (regra da composição de velocidades):
\vec v_{\text{barco/solo}} = \vec v_{b|a} + \vec v_{r}.
Fazendo a soma componente a componente:
\vec v_{\text{barco/solo}} = (0 + v_{r})\,\hat\imath + (v_{b} + 0)\,\hat\jmath = v_{r}\,\hat\imath + v_{b}\,\hat\jmath.
Portanto as componentes pedidas são:
  • componente na direção da correnteza (eixo x): \;v_{r}\;;
  • componente na direção de atravessar (eixo y): \;v_{b}\;.
Comentário didático: mesmo que a corrente arraste o barco na horizontal, isso não altera a componente do barco perpendicular às margens enquanto o barco se mantém apontado perpendicularmente — por isso a componente em y continua sendo \;v_{b}\;.

Passo 4

Agora calculamos o tempo para cruzar o rio. Ideia física básica: se uma partícula se desloca uma distância D numa dimensão com velocidade constante u, o tempo necessário é t = D/u. Aqui:
  • a distância a atravessar é a largura do rio, \;L\;, medida na direção y;
  • a velocidade do barco na direção y (componente que realmente reduz a distância entre margens) é constante e vale \;v_{b}\;.
Aplicando a relação distância = velocidade × tempo, isolamos o tempo:
t = \frac{L}{v_{b}}.
Explico em palavras: o arrasto da correnteza ( \;v_{r}\;) só provoca um deslocamento horizontal (o barco sai da linha reta), mas não altera o tempo que o barco leva para cobrir a largura L porque a componente que faz atravessar é \;v_{b}\; e ela é independente de \;v_{r}\;.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para entender): se \;L=100\\ \text{m}\; e \;v_{b}=5\\ \text{m/s}\;, então
t=\frac{100}{5}=20\\ \text{s}.
Isso mostra concretamente como usar a fórmula no dia da prova. Força aí — é só aplicar distância sobre componente perpendicular!

Resposta

a) componente na direção de atravessar: v_{b}
a) componente na direção da correnteza: v_{r}
b) t=\dfrac{L}{v_{b}}

Exercícios relacionados