Um barco quer atravessar um rio de largura
. O barco se move com velocidade de módulo
em relação a água. A correnteza do rio tem velocidade de modulo
, horizontal (da esquerda para direita). Considere o barco apontado perpendicularmente as margens (ou seja, na direção de atravessar).
a) Escreva as componentes da velocidade do barco em relação ao solo: componentes na direção de atravessar o rio; componente na direção da correnteza;
b) Sabendo que a componente de velocidade na direção de atravessar vale
, escreva o tempo para cruzar o rio de largura
.
a) Escreva as componentes da velocidade do barco em relação ao solo: componentes na direção de atravessar o rio; componente na direção da correnteza;
b) Sabendo que a componente de velocidade na direção de atravessar vale
Passo 1
O enunciado dá um barco que quer atravessar um rio de largura
. O barco tem velocidade de módulo
em relação à água e está apontado perpendicularmente às margens (ou seja, sua velocidade relativa à água é só na direção de atravessar). A correnteza do rio tem velocidade de módulo
, horizontal, da esquerda para a direita.
O que o enunciado pede:
O que o enunciado pede:
- (a) Escrever as componentes da velocidade do barco em relação ao solo: a componente na direção de atravessar o rio e a componente na direção da correnteza.
- (b) Sabendo que a componente de velocidade na direção de atravessar vale
, escrever o tempo para cruzar o rio de largura .
Passo 2
Vamos representar direções e vetores de forma simples e clara. Escolho um sistema de coordenadas:
- eixo
: direção horizontal, igual à direção da correnteza (da esquerda para a direita). - eixo
: direção perpendicular às margens, ou seja, direção de atravessar o rio (de uma margem à outra).
Agora escrevo os vetores dados:
- Velocidade da correnteza (água em relação ao solo) é só horizontal, então
Aqui
é o vetor unitário em
e
é o vetor unitário em
. Explico:
aparece na componente
porque a corrente vai horizontalmente; a componente
é zero porque a corrente não empurra no sentido de atravessar.
- Velocidade do barco em relação à água (o barco apontado perpendicularmente) é só na direção
, então
Isto significa que, relativo à água, o barco não tem componente na direção
(ele não está “apontado” para a frente/atrás da corrente), só tem velocidade para atravessar com módulo
.
Passo 3
A velocidade do barco em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água com a velocidade da água em relação ao solo (regra da composição de velocidades):
Fazendo a soma componente a componente:
Portanto as componentes pedidas são:
- componente na direção da correnteza (eixo
): ; - componente na direção de atravessar (eixo
): .
Comentário didático: mesmo que a corrente arraste o barco na horizontal, isso não altera a componente do barco perpendicular às margens enquanto o barco se mantém apontado perpendicularmente — por isso a componente em
continua sendo
.
Passo 4
Agora calculamos o tempo para cruzar o rio. Ideia física básica: se uma partícula se desloca uma distância
numa dimensão com velocidade constante
, o tempo necessário é
. Aqui:
- a distância a atravessar é a largura do rio,
, medida na direção ; - a velocidade do barco na direção
(componente que realmente reduz a distância entre margens) é constante e vale .
Aplicando a relação distância = velocidade × tempo, isolamos o tempo:
Explico em palavras: o arrasto da correnteza (
) só provoca um deslocamento horizontal (o barco sai da linha reta), mas não altera o tempo que o barco leva para cobrir a largura
porque a componente que faz atravessar é
e ela é independente de
.
Passo 5
Exemplo numérico rápido (para entender): se
e
, então
Isso mostra concretamente como usar a fórmula no dia da prova. Força aí — é só aplicar distância sobre componente perpendicular!
Resposta
a) componente na direção de atravessar:
a) componente na direção da correnteza:
b)
a) componente na direção da correnteza:
b)