A velocidade de um móvel varia com o tempo segundo \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t})=\mathbf{4} \boldsymbol{t}-\boldsymbol{t}^{2}.
a) Determine a função posição \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) sabendo que \boldsymbol{x}(\mathbf{0})=\mathbf{0}.
b) Calcule o deslocamento total entre \boldsymbol{t}=\mathbf{0} e \boldsymbol{t}=\mathbf{3} \boldsymbol{s}.
c) Determine o instante em que o móvel atinge a velocidade máxima.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade do móvel como v(t)=4t-t^{2} e pede três coisas:
  • (a) Determinar a função posição x(t) sabendo que x(0)=0.
  • (b) Calcular o deslocamento total entre t=0 e t=3\\ \text{s}.
  • (c) Determinar o instante em que o móvel atinge a velocidade máxima.
Informações relevantes dadas:
  • A velocidade é \,v(t)=4t-t^{2}\, (unidade implícita: metros por segundo, se a posição for em metros).
  • Condição inicial: x(0)=0.
  • Intervalo para o item (b): t\in[0,3].

Passo 2

Conceito importante (bem mastigado): velocidade e posição.
  • Por definição, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}\,.
  • Isso significa que a posição x(t) é uma antiderivada (primitiva) de v(t). Ou seja, para achar x(t) devemos integrar v(t) em relação a t:
x(t)=\int v(t)\,dt + C.
  • Regra que usaremos para integrar potências de t: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aplicamos isso termo a termo quando integrarmos 4t e -t^{2}.

Passo 3

Integração para encontrar x(t).
  • Escrevo a integral da velocidade:
x(t)=\int(4t-t^{2})\,dt + C.
  • Integro termo a termo usando a regra \int t^{n}\,dt:
\int 4t\,dt = 4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2},
\int -t^{2}\,dt = -\frac{t^{3}}{3}.
  • Assim a primitiva geral é
x(t)=2t^{2}-\frac{t^{3}}{3}+C.
  • Uso a condição inicial x(0)=0 para determinar C:
x(0)=2\cdot0^{2}-\frac{0^{3}}{3}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Logo a função posição pedida é
x(t)=2t^{2}-\frac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Interpretação do deslocamento e cálculo direto.
  • O deslocamento neto entre t=a e t=b é x(b)-x(a). Equivalentemente, é a integral do tempo de v(t) entre os limites:
\Delta x=\int_{a}^{b}v(t)\,dt.
  • Para o intervalo pedido, a=0 e b=3. Posso usar a primitiva encontrada ou calcular a integral definida:
\Delta x=\int_{0}^{3}(4t-t^{2})\,dt=\left[2t^{2}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}.
  • Avaliando nos extremos:
\left(2\cdot3^{2}-\frac{3^{3}}{3}\right)-\left(2\cdot0^{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)=\left(2\cdot9-\frac{27}{3}\right)-0=18-9=9.
  • Portanto o deslocamento total entre t=0 e t=3\\ \text{s} é 9 (metros).

Passo 5

Determinar o instante de velocidade máxima — ideia e cálculo.
  • Opção 1 (mais direto para quadrática): v(t)=4t-t^{2} é uma parábola em t que se abre para baixo (coeficiente de t^{2} é -1), logo tem um único máximo no vértice.
  • Fórmula do vértice para uma parábola at^{2}+bt+c dá o tempo do vértice em t=-\dfrac{b}{2a}. Aqui reescrevendo v(t)=-t^{2}+4t temos a=-1 e b=4, então
t_{\text{max}}=-\frac{4}{2(-1)}=2\\ \text{s}.
  • Opção 2 (calculo de derivada — ligação com física): a derivada de v(t) é a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Um extremo de v ocorre quando a(t)=0. Calculando:
a(t)=\frac{dv}{dt}=4-2t.
Resolver a(t)=0 4-2t=0\Rightarrow t=2\\ \text{s}.
  • Para confirmar que é máximo, verificamos a segunda derivada: \dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}=-2<0, o que confirma que em t=2 temos um máximo.
  • (Opcional) A velocidade máxima é v(2)=4\cdot2-2^{2}=8-4=4 (m/s), se quiser o valor também.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: conseguimos achar a posição integrando a velocidade (com a condição inicial), calcular o deslocamento como diferença de posições (ou integral definida) e achar o instante de máximo usando vértice ou zerando a aceleração. Mandou bem por trazer o exercício — já tá ficando mais tranquilo!

Resposta

(a) x(t)=2t^{2}-\dfrac{t^{3}}{3}.
(b) \Delta x=9\\ \text{m}.
(c) t=2\\ \text{s}.

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