A velocidade de um móvel varia com o tempo segundo
.
a) Determine a função posição
sabendo que
.
b) Calcule o deslocamento total entre
e
.
c) Determine o instante em que o móvel atinge a velocidade máxima.
a) Determine a função posição
b) Calcule o deslocamento total entre
c) Determine o instante em que o móvel atinge a velocidade máxima.
Passo 1
O enunciado fornece a velocidade do móvel como
e pede três coisas:
- (a) Determinar a função posição
sabendo que . - (b) Calcular o deslocamento total entre
e . - (c) Determinar o instante em que o móvel atinge a velocidade máxima.
Informações relevantes dadas:
- A velocidade é
(unidade implícita: metros por segundo, se a posição for em metros). - Condição inicial:
. - Intervalo para o item (b):
.
Passo 2
Conceito importante (bem mastigado): velocidade e posição.
- Por definição, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
. - Isso significa que a posição
é uma antiderivada (primitiva) de . Ou seja, para achar devemos integrar em relação a :
- Regra que usaremos para integrar potências de
: para ,
Aplicamos isso termo a termo quando integrarmos
e
.
Passo 3
Integração para encontrar
.
- Escrevo a integral da velocidade:
- Integro termo a termo usando a regra
:
- Assim a primitiva geral é
- Uso a condição inicial
para determinar :
- Logo a função posição pedida é
Passo 4
Interpretação do deslocamento e cálculo direto.
- O deslocamento neto entre
e é . Equivalentemente, é a integral do tempo de entre os limites:
- Para o intervalo pedido,
e . Posso usar a primitiva encontrada ou calcular a integral definida:
- Avaliando nos extremos:
- Portanto o deslocamento total entre
e é (metros).
Passo 5
Determinar o instante de velocidade máxima — ideia e cálculo.
- Opção 1 (mais direto para quadrática):
é uma parábola em que se abre para baixo (coeficiente de é ), logo tem um único máximo no vértice. - Fórmula do vértice para uma parábola
dá o tempo do vértice em . Aqui reescrevendo temos e , então
- Opção 2 (calculo de derivada — ligação com física): a derivada de
é a aceleração . Um extremo de ocorre quando . Calculando:
Resolver
dá
.
- Para confirmar que é máximo, verificamos a segunda derivada:
, o que confirma que em temos um máximo. - (Opcional) A velocidade máxima é
(m/s), se quiser o valor também.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: conseguimos achar a posição integrando a velocidade (com a condição inicial), calcular o deslocamento como diferença de posições (ou integral definida) e achar o instante de máximo usando vértice ou zerando a aceleração. Mandou bem por trazer o exercício — já tá ficando mais tranquilo!
Resposta
(a)
.
(b)
(c)