A transformação de velocidades na relatividade especial pode ser obtida derivando a transformação de Lorentz. Supondo uma partícula se movendo em S com velocidade \vec{u}, consideremos três siutações diferentes para o movimento: iii) somente na direção z. Usando as equações da transformação de Lorentez, obtenha as velocidades da partícula no referencial S^{\prime}, que se desloca na direção x com velocidade constante \vec{v} em relação a S (ou seja, determinar u_{x}^{\prime}, u_{y}^{\prime} e u_{z}^{\prime} ).

Passo 1

O enunciado pede que, partindo das transformações de Lorentz, eu determine as componentes da velocidade da partícula em S' — isto é, u_x',\,u_y',\,u_z' — no caso iii) em que a partícula em S move-se somente na direção z. As informações relevantes fornecidas são:
  • O referencial S' move-se em relação a S com velocidade constante \vec{v} na direção x. Vou denotar essa velocidade por v.
  • Na descrição em S a partícula tem velocidades componentes u_x=0,\;u_y=0,\;u_z (ou seja, movimento só em z).
  • Devemos usar as equações da transformação de Lorentz para obter as velocidades em S'.
  • Vou usar c para a velocidade da luz e \gamma para o fator de Lorentz definido por \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 2

Vou primeiro escrever as transformações de Lorentz (para um referencial S' que se desloca com velocidade v ao longo de x em relação a S). Elas são:
x'=\gamma\,(x-vt)
y'=y
z'=z
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right)
Explicando: \gamma corrige intervalos de tempo/posição devido à velocidade relativa v; x',y',z',t' são as coordenadas no referencial S' e x,y,z,t as em S.
A velocidade da partícula em S' é obtida por derivação temporal das coordenadas do ponto-partícula:
u_x'=\frac{dx'}{dt'},\qquad u_y'=\frac{dy'}{dt'},\qquad u_z'=\frac{dz'}{dt'}.
Vou calcular dx'/dt' usando a regra da cadeia: primeiro obtenho dx'/dt e dt'/dt, e então faço a divisão.
Calculemos dx'/dt. Da expressão de x':
\frac{dx'}{dt}=\gamma\left(\frac{dx}{dt}-v\right)=\gamma\,(u_x-v),
pois por definição u_x=dx/dt.
Agora calculemos dt'/dt. Da expressão de t':
\frac{dt'}{dt}=\gamma\left(1-\frac{v}{c^{2}}\frac{dx}{dt}\right)=\gamma\left(1-\frac{v\,u_x}{c^{2}}\right).
Então, a componente x da velocidade transformada é
u_x'=\frac{\dfrac{dx'}{dt}}{\dfrac{dt'}{dt}}=\frac{\gamma\,(u_x-v)}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)}.
Aqui o \gamma cancela, resultando na conhecida fórmula de adição relativística para a componente x:
\boxed{\,u_x'=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}\,}.
Agora as componentes transversas. Como y'=y e z'=z temos
\frac{dy'}{dt}=\frac{dy}{dt}=u_y,\qquad \frac{dz'}{dt}=\frac{dz}{dt}=u_z.
Mas o denominador continua sendo dt'/dt=\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right). Assim:
\boxed{\,u_y'=\frac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)}\,}
\boxed{\,u_z'=\frac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)}\,}.
Vou explicar rápido o que cada parte significa: o denominador \gamma(1-vu_x/c^{2}) aparece por causa da dilatação de tempo e da não simultaneidade entre S e S'. Quando u_x não é zero, há mistura entre x e t na transformação; isso modifica todas as componentes medidas em S'. Quando u_x=0 essa expressão simplifica bastante — veremos agora.

Passo 3

Agora aplico o caso específico do enunciado: a partícula em S move-se somente em z. Portanto:
u_x=0,\qquad u_y=0,\qquad u_z=\text{(valor dado)}.
Substituindo u_x=0 nas fórmulas gerais obtidas:
Para u_x':
u_x'=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}=\frac{0-v}{1-0}=-v.
Explicando em palavras: se na base S a partícula não tem velocidade na direção x, então em S' (que se desloca com velocidade v em x) a partícula parecerá ter componente x igual a -v — ou seja, ela se move no sentido oposto ao do movimento de S' com velocidade numérica v.
Para u_y':
u_y'=\frac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)}=\frac{0}{\gamma(1-0)}=0.
Para u_z':
u_z'=\frac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)}=\frac{u_z}{\gamma(1-0)}=\frac{u_z}{\gamma}.
Ou seja, a componente transversal z é reduzida por um fator \gamma quando vista do referencial que se move ao longo de x. Isso vem da combinação de dilatação de tempo e mistura espaço-tempo: a velocidade transverse medida usa um intervalo de tempo diferente em S', levando à divisão por \gamma.

Passo 4

Comentário físico e checagem rápida:
  • \gamma>1 quando v\neq 0, portanto |u_z'|<|u_z| (a componente transverse diminui visto de S').
  • O resultado u_x'=-v faz sentido: como em S o objeto tem x fixo (ou u_x=0), o referencial S' que se desloca para +x vê o objeto deslocar-se para -x com rapidez v.
  • Todas as fórmulas respeitam a barreira c (para velocidades físicas): se u_z<c e v<c as componentes transformadas também respeitam limites relativísticos.

Resposta

u_x'=-v
u_y'=0
u_z'=\dfrac{u_z}{\gamma}

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