A transformação de velocidades na relatividade especial pode ser obtida derivando a transformação de Lorentz. Supondo uma partícula se movendo em
com velocidade
, consideremos três siutações diferentes para o movimento: iii) somente na direção
. Usando as equações da transformação de Lorentez, obtenha as velocidades da partícula no referencial
, que se desloca na direção
com velocidade constante
em relação a
(ou seja, determinar
e
).
Passo 1
O enunciado pede que, partindo das transformações de Lorentz, eu determine as componentes da velocidade da partícula em
— isto é,
— no caso iii) em que a partícula em
move-se somente na direção
. As informações relevantes fornecidas são:
- O referencial
move-se em relação a com velocidade constante na direção . Vou denotar essa velocidade por . - Na descrição em
a partícula tem velocidades componentes (ou seja, movimento só em ). - Devemos usar as equações da transformação de Lorentz para obter as velocidades em
. - Vou usar
para a velocidade da luz e para o fator de Lorentz definido por .
Passo 2
Vou primeiro escrever as transformações de Lorentz (para um referencial
que se desloca com velocidade
ao longo de
em relação a
). Elas são:
Explicando:
corrige intervalos de tempo/posição devido à velocidade relativa
;
são as coordenadas no referencial
e
as em
.
A velocidade da partícula em
é obtida por derivação temporal das coordenadas do ponto-partícula:
Vou calcular
usando a regra da cadeia: primeiro obtenho
e
, e então faço a divisão.
Calculemos
. Da expressão de
:
pois por definição
.
Agora calculemos . Da expressão de
:
Agora calculemos
Então, a componente
da velocidade transformada é
Aqui o
cancela, resultando na conhecida fórmula de adição relativística para a componente
:
Agora as componentes transversas. Como
e
temos
Mas o denominador continua sendo
. Assim:
Vou explicar rápido o que cada parte significa: o denominador
aparece por causa da dilatação de tempo e da não simultaneidade entre
e
. Quando
não é zero, há mistura entre
e
na transformação; isso modifica todas as componentes medidas em
. Quando
essa expressão simplifica bastante — veremos agora.
Passo 3
Agora aplico o caso específico do enunciado: a partícula em
move-se somente em
. Portanto:
Substituindo
nas fórmulas gerais obtidas:
Para
:
Explicando em palavras: se na base
a partícula não tem velocidade na direção
, então em
(que se desloca com velocidade
em
) a partícula parecerá ter componente
igual a
— ou seja, ela se move no sentido oposto ao do movimento de
com velocidade numérica
.
Para
:
Para
:
Ou seja, a componente transversal
é reduzida por um fator
quando vista do referencial que se move ao longo de
. Isso vem da combinação de dilatação de tempo e mistura espaço-tempo: a velocidade transverse medida usa um intervalo de tempo diferente em
, levando à divisão por
.
Passo 4
Comentário físico e checagem rápida:
-
quando , portanto (a componente transverse diminui visto de ). - O resultado
faz sentido: como em o objeto tem fixo (ou ), o referencial que se desloca para vê o objeto deslocar-se para com rapidez . - Todas as fórmulas respeitam a barreira
(para velocidades físicas): se e as componentes transformadas também respeitam limites relativísticos.