Um corpo move-se em trajetória circular de raio \boldsymbol{r} e velocidade \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t})=\mathbf{2} \boldsymbol{t}+\mathbf{3}.
a) Determine as componentes da aceleração: tangencial \boldsymbol{a}_{t} e centrípeta \boldsymbol{a}_{c}.
b) Calcule o módulo da aceleração total em função do tempo.
c) Para \boldsymbol{t}=\mathbf{2} \boldsymbol{s} e \boldsymbol{r}=\mathbf{4} \boldsymbol{m}, obtenha \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{c}} e \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{t}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Movimento: o corpo descreve uma trajetória circular de raio r.
  • Velocidade escalar (módulo da velocidade) em função do tempo: \displaystyle v(t)=2t+3. (Aqui estou assumindo que v(t) é o escalar velocidade tangencial, em \mathrm{m\,s^{-1}}.)
  • Pedidos:
    a) Determinar as componentes da aceleração: tangencial \displaystyle a_{t} e centrípeta \displaystyle a_{c}.
    b) Calcular o módulo da aceleração total em função do tempo.
    c) Para t=2\\ \mathrm{s} e r=4\\ \mathrm{m}, obter os valores numéricos de \displaystyle a_{c} e \displaystyle a_{t}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • A aceleração em um movimento circular pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares:
    • tangencial, \displaystyle a_{t}, que altera o módulo da velocidade (aumento ou diminuição da rapidez), dirigida ao longo da tangente à trajetória;
    • centrípeta (ou normal), \displaystyle a_{c}, que altera a direção da velocidade, apontando radialmente para o centro da curva.
  • A relação para a componente tangencial é a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo: a_{t}=\frac{dv}{dt}.Explicação: v(t) é o escalar velocidade; sua derivada dá a taxa de variação da rapidez — isso é exatamente a aceleração na direção tangente.
  • A magnitude da aceleração centrípeta (normal) em movimento circular é dada por a_{c}=\frac{v^{2}}{r},onde v é o módulo da velocidade e r o raio da curva. Explicação: essa fórmula vem da necessidade de uma aceleração dirigida ao centro para curvar a trajetória; quanto maior v e menor r, maior a aceleração necessária.

Passo 3

Calcular a componente tangencial \displaystyle a_{t} a partir de \displaystyle v(t)=2t+3.
  • Diferenciando termo a termo: \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(2t)+\frac{d}{dt}(3)=2+0=2.
  • Portanto a componente tangencial é constante: a_{t}=2\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).
Breve interpretação: a rapidez cresce linearmente com inclinação 2\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, logo a aceleração tangencial é 2\\ \mathrm{m\,s^{-2}} em todo instante.

Passo 4

Obter a expressão da componente centrípeta \displaystyle a_{c}(t) usando \displaystyle v(t).
  • Aplicando a fórmula \displaystyle a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r} com v(t)=2t+3: a_{c}(t)=\frac{(2t+3)^{2}}{r}.
  • Explicação do que cada símbolo significa: 2t+3 é a rapidez em \mathrm{m\,s^{-1}}, elevando ao quadrado dá \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}; dividimos por r (em \mathrm{m}) para obter \mathrm{m\,s^{-2}}, unidade de aceleração.

Passo 5

Justificar e deduzir o módulo da aceleração total.
  • As componentes tangencial e centrípeta são sempre perpendiculares (tangente ⟂ radial), então o módulo da aceleração resultante é dado pelo teorema de Pitágoras aplicado às componentes: |a|(t)=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{c}(t)^{2}}.
  • Substituindo as expressões que já temos: |a|(t)=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{(2t+3)^{2}}{r}\right)^{2}}.

Passo 6

Simplificar a expressão do módulo quando possível.
  • Escrevendo de forma explícita: |a|(t)=\sqrt{4+\frac{(2t+3)^{4}}{r^{2}}}.
  • Observação: ambas as formas são equivalentes; a forma com raiz quádrupla deixa claro a contribuição da componente centrípeta elevada ao quadrado.

Passo 7

Avaliar numericamente para t=2\\ \mathrm{s} e r=4\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule v(2): v(2)=2\cdot 2+3=4+3=7\quad(\mathrm{m\,s^{-1}}).
  • A componente tangencial já é constante: a_{t}=2\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).
  • Calcular a componente centrípeta com v=7 e r=4: a_{c}=\frac{v^{2}}{r}=\frac{7^{2}}{4}=\frac{49}{4}=12{,}25\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).
  • Verificação do módulo total (opcional, para reforço): usar Pitágoras |a|=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{49}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4+\frac{2401}{16}}=\sqrt{\frac{64+2401}{16}}=\sqrt{\frac{2465}{16}}=\frac{\sqrt{2465}}{4}\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).Se quiser número aproximado, \sqrt{2465}\approx49{,}65 e |a|\approx12{,}41\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. (Aqui só para intuição; o enunciado pedia especificamente a_{c} e a_{t}.)

Resposta

a) a_{t}=2\\ \mathrm{m\,s^{-2}} \quad e \quad a_{c}(t)=\dfrac{(2t+3)^{2}}{r}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
b) |a|(t)=\sqrt{4+\dfrac{(2t+3)^{4}}{r^{2}}}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
c) Para t=2\\ \mathrm{s} e r=4\\ \mathrm{m}: a_{t}=2\\ \mathrm{m\,s^{-2}} \quad e \quad a_{c}=12{,}25\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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