Um corpo move-se em trajetória circular de raio
e velocidade
.
a) Determine as componentes da aceleração: tangencial
e centrípeta
.
b) Calcule o módulo da aceleração total em função do tempo.
c) Para
e
, obtenha
e
.
a) Determine as componentes da aceleração: tangencial
b) Calcule o módulo da aceleração total em função do tempo.
c) Para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
- Movimento: o corpo descreve uma trajetória circular de raio
. - Velocidade escalar (módulo da velocidade) em função do tempo:
. (Aqui estou assumindo que é o escalar velocidade tangencial, em .) - Pedidos:
a) Determinar as componentes da aceleração: tangenciale centrípeta .
b) Calcular o módulo da aceleração total em função do tempo.
c) Parae , obter os valores numéricos de e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- A aceleração em um movimento circular pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares:
- tangencial,
, que altera o módulo da velocidade (aumento ou diminuição da rapidez), dirigida ao longo da tangente à trajetória; - centrípeta (ou normal),
, que altera a direção da velocidade, apontando radialmente para o centro da curva.
- tangencial,
- A relação para a componente tangencial é a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo:
Explicação: é o escalar velocidade; sua derivada dá a taxa de variação da rapidez — isso é exatamente a aceleração na direção tangente. - A magnitude da aceleração centrípeta (normal) em movimento circular é dada por
onde é o módulo da velocidade e o raio da curva. Explicação: essa fórmula vem da necessidade de uma aceleração dirigida ao centro para curvar a trajetória; quanto maior e menor , maior a aceleração necessária.
Passo 3
Calcular a componente tangencial
a partir de
.
- Diferenciando termo a termo:
- Portanto a componente tangencial é constante:
Breve interpretação: a rapidez cresce linearmente com inclinação
, logo a aceleração tangencial é
em todo instante.
Passo 4
Obter a expressão da componente centrípeta
usando
.
- Aplicando a fórmula
com : - Explicação do que cada símbolo significa:
é a rapidez em , elevando ao quadrado dá ; dividimos por (em ) para obter , unidade de aceleração.
Passo 5
Justificar e deduzir o módulo da aceleração total.
- As componentes tangencial e centrípeta são sempre perpendiculares (tangente ⟂ radial), então o módulo da aceleração resultante é dado pelo teorema de Pitágoras aplicado às componentes:
- Substituindo as expressões que já temos:
Passo 6
Simplificar a expressão do módulo quando possível.
- Escrevendo de forma explícita:
- Observação: ambas as formas são equivalentes; a forma com raiz quádrupla deixa claro a contribuição da componente centrípeta elevada ao quadrado.
Passo 7
Avaliar numericamente para
e
.
- Primeiro calcule
: - A componente tangencial já é constante:
- Calcular a componente centrípeta com
e : - Verificação do módulo total (opcional, para reforço): usar Pitágoras
Se quiser número aproximado, e . (Aqui só para intuição; o enunciado pedia especificamente e .)
Resposta
a)
e
b)
c) Para e
:
e
b)
c) Para