Um barco está sendo puxado para o cais por meio de um cabo com uma extremidade atada na proa do barco e a outra passando através de um anel fixo no cais num ponto situado a 1.5 m acima do nível da proa do barco. Se o cabo está sendo puxado a uma taxa de
, com que velocidade o barco se move na água quando já foram puxados
de cabo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um barco sendo puxado para o cais por um cabo. Uma extremidade do cabo está presa na frente do barco (proa) e a outra passa por um anel fixo no cais, que está localizado a 1,5 metros acima do nível da proa. O cabo está sendo puxado a uma velocidade de
. Queremos descobrir com que velocidade o barco está se movendo na água quando já foram puxados
de cabo.
Para resolver isso, vamos precisar entender taxas relacionadas (ou derivadas relacionadas) em cálculo, que ajudam a encontrar como uma quantidade muda em relação a outra. Também vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias envolvidas.
Passo 2
Vamos desenhar um triângulo retângulo imaginário para visualizar a situação.
- Altura vertical: a distância fixa do anel ao nível da proa do barco, que é
. - Base horizontal: a distância que o barco está do cais, vamos chamar de
. - Hipotenusa: o comprimento do cabo puxado até agora, que é
.
Segundo o Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Queremos encontrar a velocidade do barco, que é a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que a taxa de variação do comprimento do cabo é
.
Vamos derivar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo
:
Simplificando:
Isso porque a derivada de uma constante (
) é zero.
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor de
quando
. Voltando ao Teorema de Pitágoras:
Calculando:
Subtraindo 2,25 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na expressão para
:
Calculando:
Resposta
A velocidade com que o barco está se movendo na água quando já foram puxados 3,9 metros de cabo é aproximadamente
.