Um barco está sendo puxado para o cais por meio de um cabo com uma extremidade atada na proa do barco e a outra passando através de um anel fixo no cais num ponto situado a 1.5 m acima do nível da proa do barco. Se o cabo está sendo puxado a uma taxa de 1,2 m / s, com que velocidade o barco se move na água quando já foram puxados 3,9 m de cabo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um barco sendo puxado para o cais por um cabo. Uma extremidade do cabo está presa na frente do barco (proa) e a outra passa por um anel fixo no cais, que está localizado a 1,5 metros acima do nível da proa. O cabo está sendo puxado a uma velocidade de 1,2 , m/s. Queremos descobrir com que velocidade o barco está se movendo na água quando já foram puxados 3,9 , m de cabo.
Para resolver isso, vamos precisar entender taxas relacionadas (ou derivadas relacionadas) em cálculo, que ajudam a encontrar como uma quantidade muda em relação a outra. Também vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias envolvidas.

Passo 2

Vamos desenhar um triângulo retângulo imaginário para visualizar a situação.
  • Altura vertical: a distância fixa do anel ao nível da proa do barco, que é 1,5 , m.
  • Base horizontal: a distância que o barco está do cais, vamos chamar de x.
  • Hipotenusa: o comprimento do cabo puxado até agora, que é l = 3,9 , m.
Segundo o Teorema de Pitágoras:
x^2 + (1,5)^2 = l^2

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade do barco, que é a taxa de variação de x em relação ao tempo, ou seja, dxdt. Sabemos que a taxa de variação do comprimento do cabo é dldt = 1,2 , m/s.
Vamos derivar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo t:
ddt(x^2) + ddt(1,5^2) = ddt(l^2)
Simplificando:
2x cdot dxdt + 0 = 2l cdot dldt
Isso porque a derivada de uma constante ( 1,5^2) é zero.

Passo 4

Agora, vamos isolar dxdt:
2x cdot dxdt = 2l cdot dldt
Dividindo ambos os lados por 2x:
dxdt = lx cdot dldt

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de x quando l = 3,9 , m. Voltando ao Teorema de Pitágoras:
x^2 + (1,5)^2 = (3,9)^2
Calculando:
x^2 + 2,25 = 15,21
Subtraindo 2,25 de ambos os lados:
x^2 = 12,96
Tirando a raiz quadrada:
x = raiz12,96 = 3,6 , m

Passo 6

Agora, substituímos os valores na expressão para dxdt:
dxdt = 3,93,6 cdot 1,2
Calculando:
dxdt = 3,93,6 times 1,2 approx 1,3 , m/s

Resposta

A velocidade com que o barco está se movendo na água quando já foram puxados 3,9 metros de cabo é aproximadamente 1,3 , m/s.

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