Uma lâmpada está no topo de um poste de 24 m de altura. Uma bola é largada da mesma altura de um ponto situado a 6 m de distância da lâmpada. Encontre a velocidade com que a sombra da bola se move no chão (a) 1 segundo depois de largada a bola e (b) 2 segundos depois. Suponha que a bola cai
metros em
segundos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma lâmpada no topo de um poste de 24 metros de altura. Uma bola é largada de um ponto que tá também a 24 metros de altura, mas a 6 metros de distância da base da lâmpada. A pergunta é: qual a velocidade com que a sombra da bola se move no chão após 1 e 2 segundos de a bola ter sido largada? Para resolver isso, vamos precisar usar noções de similaridade de triângulos e derivadas para achar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como a bola está se movendo. A bola está caindo livremente, e a distância que ela cai em relação ao tempo é dada pela fórmula:
Aqui, $ s(t) $ é a distância que a bola cai em metros após $ t $ segundos.
Passo 3
Vamos determinar a altura da bola em relação ao chão após $ t $ segundos. Como a bola começa a 24 metros de altura, a altura $ h(t) $ da bola será:
Passo 4
Agora, vamos analisar a sombra da bola no chão. A lâmpada, a bola e a sombra formam triângulos semelhantes. A distância horizontal entre a base do poste e a posição inicial da bola é de 6 metros. Vamos chamar a posição da sombra no chão de $ x(t) $.
Pela similaridade dos triângulos, temos a relação:
Substituindo $ h(t) $:
Passo 5
Resolvendo para $ x(t) $:
Passo 6
Para encontrar a velocidade da sombra, precisamos derivar $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
Vamos calcular a derivada:
Usando a regra do quociente:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão da velocidade:
Passo 8
Vamos calcular $ v(t) $ para $ t = 1 $ segundo:
Passo 9
Agora, vamos calcular $ v(t) $ para $ t = 2 $ segundos:
Resposta
(a) A velocidade da sombra 1 segundo depois de largada a bola é aproximadamente 3,87 m/s.
(b) A velocidade da sombra 2 segundos depois de largada a bola é aproximadamente 145,7 m/s.