Uma lâmpada está no topo de um poste de 24 m de altura. Uma bola é largada da mesma altura de um ponto situado a 6 m de distância da lâmpada. Encontre a velocidade com que a sombra da bola se move no chão (a) 1 segundo depois de largada a bola e (b) 2 segundos depois. Suponha que a bola cai s=4,9 t^2 metros em t segundos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma lâmpada no topo de um poste de 24 metros de altura. Uma bola é largada de um ponto que tá também a 24 metros de altura, mas a 6 metros de distância da base da lâmpada. A pergunta é: qual a velocidade com que a sombra da bola se move no chão após 1 e 2 segundos de a bola ter sido largada? Para resolver isso, vamos precisar usar noções de similaridade de triângulos e derivadas para achar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a bola está se movendo. A bola está caindo livremente, e a distância que ela cai em relação ao tempo é dada pela fórmula:
s(t) = 4,9 t^2
Aqui, $ s(t) $ é a distância que a bola cai em metros após $ t $ segundos.

Passo 3

Vamos determinar a altura da bola em relação ao chão após $ t $ segundos. Como a bola começa a 24 metros de altura, a altura $ h(t) $ da bola será:
t

Passo 4

Agora, vamos analisar a sombra da bola no chão. A lâmpada, a bola e a sombra formam triângulos semelhantes. A distância horizontal entre a base do poste e a posição inicial da bola é de 6 metros. Vamos chamar a posição da sombra no chão de $ x(t) $.
Pela similaridade dos triângulos, temos a relação:
x(t)
Substituindo $ h(t) $:
x(t)24 = 6h(t)

Passo 5

Resolvendo para $ x(t) $:
x(t)
x(t) = 24 times 624 - 4,9 t^2

Passo 6

Para encontrar a velocidade da sombra, precisamos derivar $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
x(t)
Vamos calcular a derivada:
t
Usando a regra do quociente:
v(t) = dxdt
v(t) = ddt ( 14424 - 4,9 t^2 )

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão da velocidade:
v(t) = 1411,2 t(24 - 4,9 t^2)^2

Passo 8

Vamos calcular $ v(t) $ para $ t = 1 $ segundo:
v(t)
t = 1
v(1) = 1411,2 times 1(24 - 4,9 times 1^2)^2
v(1) = 1411,2(24 - 4,9)^2
v(1) = 1411,219,1^2

Passo 9

Agora, vamos calcular $ v(t) $ para $ t = 2 $ segundos:
v(t)
t = 2
v(2) = 1411,2 times 2(24 - 4,9 times 2^2)^2
v(2) = 2822,4(24 - 19,6)^2
v(2) = 2822,44,4^2

Resposta

(a) A velocidade da sombra 1 segundo depois de largada a bola é aproximadamente 3,87 m/s.
(b) A velocidade da sombra 2 segundos depois de largada a bola é aproximadamente 145,7 m/s.

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