Use o Teorema de Green para determinar
, onde
é a fronteira do disco de centro
e raio 1 .
Passo 1
A gente quer calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira do disco de centro
e raio 1. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco, e depois coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Passo 2
Identificamos as funções
e
. Pelo Teorema de Green, temos que
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Logo, o integrando fica
Passo 5
Em coordenadas polares,
,
, então
e
. O disco corresponde a
e
. Montamos a integral:
Passo 6
Agora é só calcular: