Use o Teorema de Green para determinar integralc(-x^2 y) d x+(x y^2) d y, onde c é a fronteira do disco de centro (0,0) e raio 1 .

Passo 1

A gente quer calcular a integral de linha ointC(-x^2y),dx + (xy^2),dy, onde C é a fronteira do disco de centro (0,0) e raio 1. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco, e depois coordenadas polares para facilitar o cálculo.

Passo 2

Identificamos as funções P(x,y) = -x^2y e Q(x,y) = xy^2. Pelo Teorema de Green, temos que ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partialx Q - partialy Pr),dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = y^2
partial Ppartial y = -x^2

Passo 4

Logo, o integrando fica
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2

Passo 5

Em coordenadas polares, x = rcostheta, y = rsintheta, então x^2+y^2 = r^2 e dA = r,dr,dtheta. O disco corresponde a 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Montamos a integral:
integral duplaD(x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral0^1 r^2cdot r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^1 r^3,dr,dtheta

Passo 6

Agora é só calcular:
integral0^1r^3,dr = 14,integral0^2pi14,dtheta = 2pi4 = pi2

Resposta

pi2

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