Se um foguete pesa 1000 libras na superfície da Terra, então ele pesa W=1000(1+r / 4000)^2 libras quando está a r milhas da superfície da Terra. Se o foguete está subindo a uma velocidade de 1,25 mi / min, com que velocidade ele perde peso quando sua altitude é 1000 mi ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o peso de um foguete em diferentes altitudes da Terra. A gente vai usar conceitos de derivadas para descobrir como o peso do foguete muda ao subir. Precisamos entender a fórmula que relaciona o peso (W) com a altitude ® e aplicar a velocidade com que o foguete está subindo para encontrar a taxa de variação do peso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o peso do foguete com a altitude:
W = 1000(1 + r4000)^2
Aqui, $ W $ é o peso do foguete e $ r $ é a altitude em milhas.

Passo 3

Queremos descobrir quão rápido o peso do foguete está diminuindo quando ele está a 1000 milhas de altitude. Isso significa que precisamos calcular a derivada de $ W $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dW}{dt} $.

Passo 4

Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, encontramos a derivada de $ W $ em relação a $ r $, $ \frac{dW}{dr} $, e depois multiplicamos pela derivada de $ r $ em relação ao tempo, $ \frac{dr}{dt} $:
W
Sabemos que $ \frac{dr}{dt} = 1,25 $ mi/min, que é a velocidade do foguete subindo.

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{dW}{dr} $. Diferenciando $ W $ em relação a $ r $:
dWdr
Aplicando a regra do poder:
W
Simplificando:
r

Passo 6

Agora, substituímos $ r = 1000 $ milhas na expressão de $ \frac{dW}{dr} $:
r = 1000
Calculando $ (1,25)^{-3} $:
dWdr
Então:
dWdr = -12 cdot (1 + 10004000)^-3 = -12 cdot (1 + 0,25)^-3 = -12 cdot (1,25)^-3

Passo 7

Agora, multiplicamos $ \frac{dW}{dr} $ pela velocidade $ \frac{dr}{dt} $:
dWdr

Resposta

O foguete está perdendo peso a uma velocidade de aproximadamente 0,32 libras por minuto quando sua altitude é de 1000 milhas.

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