Se um foguete pesa 1000 libras na superfície da Terra, então ele pesa
libras quando está a
milhas da superfície da Terra. Se o foguete está subindo a uma velocidade de
, com que velocidade ele perde peso quando sua altitude é 1000 mi ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o peso de um foguete em diferentes altitudes da Terra. A gente vai usar conceitos de derivadas para descobrir como o peso do foguete muda ao subir. Precisamos entender a fórmula que relaciona o peso (W) com a altitude ® e aplicar a velocidade com que o foguete está subindo para encontrar a taxa de variação do peso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o peso do foguete com a altitude:
Aqui, $ W $ é o peso do foguete e $ r $ é a altitude em milhas.
Passo 3
Queremos descobrir quão rápido o peso do foguete está diminuindo quando ele está a 1000 milhas de altitude. Isso significa que precisamos calcular a derivada de $ W $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dW}{dt} $.
Passo 4
Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, encontramos a derivada de $ W $ em relação a $ r $, $ \frac{dW}{dr} $, e depois multiplicamos pela derivada de $ r $ em relação ao tempo, $ \frac{dr}{dt} $:
Sabemos que $ \frac{dr}{dt} = 1,25 $ mi/min, que é a velocidade do foguete subindo.
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{dW}{dr} $. Diferenciando $ W $ em relação a $ r $:
Aplicando a regra do poder:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos $ r = 1000 $ milhas na expressão de $ \frac{dW}{dr} $:
Calculando $ (1,25)^{-3} $:
Então:
Passo 7
Agora, multiplicamos $ \frac{dW}{dr} $ pela velocidade $ \frac{dr}{dt} $:
Resposta
O foguete está perdendo peso a uma velocidade de aproximadamente 0,32 libras por minuto quando sua altitude é de 1000 milhas.