Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, então, navega uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5 km diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho desconhecido.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um barco a vela que navega 2 km para o leste, depois 4 km para o sudoeste e, por fim, uma distância desconhecida em uma direção que não sabemos. No final, o barco está 5 km diretamente a leste do ponto de partida. O que precisamos encontrar é o vetor deslocamento desse trecho desconhecido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e decomposição de vetores nas direções x (leste-oeste) e y (norte-sul).

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores. Vamos considerar o leste como a direção positiva do eixo x e o norte como a direção positiva do eixo y.
  • O primeiro trecho é 2 km para o leste, então o vetor é: A = 2,i

Passo 3

  • O segundo trecho é 4 km para o sudoeste. Sudoeste significa que o barco está indo na direção que é metade leste e metade sul. Para decompor isso, usamos ângulos de 45°: B = 4 cos(45°),i - 4 sin(45°),j Como cos(45°) = sin(45°) = raiz22, então: B = 4 times raiz22,i - 4 times raiz22,j = 2raiz2,i - 2raiz2,j

Passo 4

  • O terceiro trecho é o vetor desconhecido, vamos chamar de C. Nosso objetivo é encontrar C.

Passo 5

Sabemos que a soma dos vetores A, B e C deve resultar em um vetor final de 5 km para o leste, que é:
R = 5,i

Passo 6

Então, temos a equação:
A + B + C = R
Substituindo os vetores conhecidos:
2,i + (2raiz2,i - 2raiz2,j) + C = 5,i

Passo 7

Vamos somar os componentes x e y:
  • Componente x: 2 + 2raiz2 + Cx = 5
  • Componente y: -2raiz2 + Cy = 0

Passo 8

Resolvendo para Cx e Cy:
  • Para Cx: Cx = 5 - 2 - 2raiz2 = 3 - 2raiz2
  • Para Cy: Cy = 2raiz2

Passo 9

Então, o vetor deslocamento C do trecho desconhecido é:
C = (3 - 2raiz2),i + 2raiz2,j

Resposta

O vetor deslocamento do trecho desconhecido é C = (3 - 2raiz2),i + 2raiz2,j km.

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