Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, então, navega uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5 km diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho desconhecido.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um barco a vela que navega 2 km para o leste, depois 4 km para o sudoeste e, por fim, uma distância desconhecida em uma direção que não sabemos. No final, o barco está 5 km diretamente a leste do ponto de partida. O que precisamos encontrar é o vetor deslocamento desse trecho desconhecido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e decomposição de vetores nas direções x (leste-oeste) e y (norte-sul).
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores. Vamos considerar o leste como a direção positiva do eixo x e o norte como a direção positiva do eixo y.
- O primeiro trecho é 2 km para o leste, então o vetor é:
Passo 3
- O segundo trecho é 4 km para o sudoeste. Sudoeste significa que o barco está indo na direção que é metade leste e metade sul. Para decompor isso, usamos ângulos de 45°:
Como , então:
Passo 4
- O terceiro trecho é o vetor desconhecido, vamos chamar de
. Nosso objetivo é encontrar .
Passo 5
Sabemos que a soma dos vetores
,
e
deve resultar em um vetor final de 5 km para o leste, que é:
Passo 6
Então, temos a equação:
Substituindo os vetores conhecidos:
Passo 7
Vamos somar os componentes x e y:
- Componente x:
- Componente y:
Passo 8
Resolvendo para
e
:
- Para
: - Para
:
Passo 9
Então, o vetor deslocamento
do trecho desconhecido é:
Resposta
O vetor deslocamento do trecho desconhecido é
km.