A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo O x é dada por:
x=b1 t^3-b2 t^4
onde b1 e b2 são constantes; x é dado em m e t em s.
Nas perguntas seguintes considere b1=3 m / s^3 e b2=0,7 m / s^4.
Qual a velocidade da partícula para t=3 s ? E para t=4 s ?

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo. A posição de uma partícula no eixo Ox é dada por
x(t) = b1,t^3 - b2,t^4
com b1 e b2 constantes. Eles já mandaram os valores:
b1 = 3;m/s^3e b2 = 0,7;m/s^4
A pergunta é: qual a velocidade dessa partícula em t = 3,s e em t = 4,s?
Conteúdo: cinemática básica, onde a velocidade v(t) é a derivada da função posição x(t) em relação ao tempo. Vamos precisar lembrar como derivar potências de t e depois inserir os valores numéricos.

Passo 2

Primeiro, a teoria: a velocidade instantânea é
v(t) = dxdt
Então a gente vai derivar cada termo de x(t) = b1t^3 - b2t^4 usando a regra de potência ( ddtt^n = n,t^n-1).
Derivando:
$$v(t) = \frac{d}{dt}\bigl(b_{1}t^3\bigr) ;-; \frac{d}{dt}\bigl(b_{2}t^4\bigr)
= b_{1}\cdot 3,t^{2} ;-; b_{2}\cdot 4,t^{3}. v(t) = ddtl(b1t^3r) ;-; ddtl(b2t^4r) = b1cdot 3,t^2 ;-; b2cdot 4,t^3\boxed{v(t) = 3,b_{1},t^{2} ;-; 4,b_{2},t^{3}}.$$

Passo 3

Agora plugamos t = 3,s e os valores de b1 e b2.
  1. Calcular 3,b1,t^2:
3times 3;m/s^3times (3,s)^2 = 3times 3 times 9 = 81;m/s
2) Calcular 4,b2,t^3:
4times 0,7;m/s^4times (3,s)^3 = 4times 0,7 times 27 = 75,6;m/s
  1. Subtrai:
v(3) = 81 - 75,6 = 5,4;m/s

Passo 4

Agora t = 4,s:
  1. 3,b1,t^2:
3times 3;m/s^3times (4,s)^2 = 3times 3 times 16 = 144;m/s
2) 4,b2,t^3:
4times 0,7;m/s^4times (4,s)^3 = 4times 0,7 times 64 = 179,2;m/s
  1. Subtrai:
v(4) = 144 - 179,2 = -35,2;m/s
(O sinal negativo indica que a partícula está mudando de sentido.)

Resposta

Velocidade em t=3,s: v(3)=5,4;m/s.
Velocidade em t=4,s: v(4)=-35,2;m/s.

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