Barnabé, professor de matemática, gosta de contar histórias para os netos. Certa vez ele relatou a seguinte conversa que, em 1932, teve com o avô:
-Vô, percebi que a minha idade é igual aos dois ultimos algarismos do ano em que nasci.
  • Barnabé, o mesmo acontece com a minha idade.
Qual era a diferença entre as idades de Barnabé e seu avô em 1932?
a) 50 .
b) 58 .
c) 60 .
d) 66 .

Passo 1

O enunciado (em 1932) dá as seguintes informações:
  • Em 1932, a idade de Barnabé é igual aos dois últimos algarismos do ano em que ele nasceu.
  • Em 1932, a idade do avô de Barnabé também é igual aos dois últimos algarismos do ano em que ele nasceu.
    O que se pede:
  • Determinar a diferença entre as idades de Barnabé e do avô em 1932 (as opções dadas são a)\\\ 50,\; b)\\\ 58,\; c)\\\ 60,\; d)\\\ 66).

Passo 2

Vou traduzir a informação em variáveis claras. Seja:
  • N = os dois últimos algarismos do ano de nascimento de uma pessoa (um número entre 0 e 99);
  • c = os primeiros dígitos do ano (o “século” multiplicado por 100), isto é o ano de nascimento é 100c+N. Por exemplo, se nasceu em 1916, então c=19 e N=16.
    A condição do enunciado diz: a idade em 1932 é igual a N. A idade em 1932 é dada por
\text{idade} = 1932 - (\;100c+N\;).
Igualando essa expressão a N (porque a idade é igual aos dois últimos dígitos), obtemos a equação
N = 1932 - (100c+N).

Passo 3

Vou resolver a equação para N. Reorganizando:
N = 1932 - 100c - N
2N = 1932 - 100c
N = \frac{1932 - 100c}{2}.
Agora tento valores inteiros razoáveis para c. Como estamos em 1932, os anos de nascimento possíveis com dois últimos dígitos são tipicamente nos séculos c=18 (anos 1800s) ou c=19 (anos 1900s). Testo ambos:
  • Para c=19:
N = \frac{1932 - 1900}{2} = \frac{32}{2} = 16.
Então uma pessoa nascida em 1916 teria em 1932 a idade 16, que coincide com os dois últimos algarismos 16.
  • Para c=18:
N = \frac{1932 - 1800}{2} = \frac{132}{2} = 66.
Então uma pessoa nascida em 1866 teria em 1932 a idade 66, que coincide com os dois últimos algarismos 66.
Valores de c diferentes de 18 ou 19 dão N fora do intervalo 0 99 (por exemplo c=17 N=116, impossível), portanto só há duas soluções possíveis para a condição dada: N=16 ou N=66.

Passo 4

Interpretação para o par avô e neto: uma pessoa com N=66 tem 66 anos em 1932, a outra com N=16 tem 16 anos em 1932. Faz sentido que o avô seja o mais velho ( 66 ) e Barnabé o mais novo ( 16 ). A diferença entre as idades é
|66-16| = 50.

Passo 5

Conclusão final: a diferença entre as idades de Barnabé e seu avô em 1932 é 50. Isso corresponde à opção a).

Resposta

a) 50.

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